6. Železný plátypus vzorové riešenie

V prvom rade si musíme vyjasniť, ako funguje bežné rezanie. Napríklad, prečo možno krájať nôžom? Ak pohybujeme nožom v materiáli, dochádza k treniu. Vďaka nemu sa kontaktné plochy zahrejú a ukradnú nám energiu. Keďže nožík je tenký, je táto energia aplikovaná len v tenkej vrstve atómov v materiáli a v nožíku. Keďže atómy v noži sú silno viazané, väčšinou ostanú na svojich miestach¹. Avšak atómy v rezanom materiáli väčšinou dodanie energie neprežijú a ich väzby sa rozpadnú. Pri rezaní je ešte fajn si premyslieť, že energiu nedodá materiálu žiadna tajomná trecia sila, ale elektrická sila medzi časticami nožíka a časticami materiálu, ktorá sa prejaví pri ich dostatočnom priblížení. Pri pohybe nožíka sa v jej dôsledku rozkmitajú atómy materiálu, takže sa im odovzdá energia.²

Pre nás je dôležitý fakt, že keď chceme rozrezať niečo na dve časti, musíme molekulám v reze dodať dostatok energie na to, aby sa rozpadli ich väzby. Je už jedno, či to urobíme šibrinkovaním nožom, laserom, vŕtačkou alebo vodným prúdom, ktorý nás zaujíma. V takomto prípade častice vody narazia na materiál a pri zbrzdení mu odovzdajú svoju kinetickú energiu.

Teraz k samotným odhadom. Je asi nekonečné množstvo spôsobov, ako odhadnúť potrebný tlak – napríklad si zistíme, koľko energie musíme vynaložiť na rozloženie jedného molu látky. Potom odhadneme čas, ktorý nám bude rezanie materiálu trvať a spočítame energiu dodanú materiálu. My sa tu ale skúsime vydať iným smerom.

Inžinieri používajú veličinu zvanú specific cutting energy, ktorá mám hovorí, koľko energie musíme dodať \(\SI{1}{\kilo\gram}\) materiálu, aby sme ho vedeli rozrezať na kúsky. Majme prúd vody s prierezom \(S_w\), striekaný pod tlakom \(p_w\) a s hustotou \(\rho_w\) a nech rezanie bude trvať čas \(t\). Ďalej predpokladajme, že pri ústi trysky má voda iba tlakovú energiu, a naopak po dotyku s materiálom už iba kinetickú. Z Bernoulliho rovnice vieme, že \[ p_w = \frac{1}{2} \rho_w v^2. \]

Predpokladajme, že častice pri náraze odovzdajú materiálu všetku svoju energiu. Za čas \(t\) potom \[ \frac{1}{2} \rho_w S_w v t v^2 = S_w t p_w^{3/2} \frac{2^{1/2}}{\rho_w^{1/2}}. \qquad(1)\]

Pravú časť rovnice sme dostali iba dosadením rýchlosti z Bernoulliho rovnice do ľavej strany. Nech sa táto energia použije na rozbitie materiálu. Ak využijeme tabuľkovú hodnotu špecifickej energie na kilogram \(C_s\), energia potrebná na odrezanie kvádru o objeme \(V\) je \(E=C_s V=C_s S_c d_c\): \[p_w= \left(\frac{\rho_w}{2} \right)^{1/3} \left(\frac{C_s \rho_t S_c d_c}{S_w t} \right)^{2/3}\text{.}\]

Teraz urobíme pár odhadov. Nech prúd vody má prierez \(S_c = \SI{1}{\milli\metre\squared}\) a rezanie trvá \(t = \SI{5}{\second}\). Nech náš rez má tvar obdĺžnika a jeho hĺbka je \(d=\SI{0.02}{\metre}\). Ďalej nech jeho plocha je \(S_c = \SI{50}{\milli\metre\squared}\). Naším materiálom bude titán s hustotou \(\rho_t = \SI{4500}{\kilo\gram\per\cubic\metre}\). Jeho špecifická energia rezania je \(C_s=\SI{1000}{\kilo\joule\per\kilo\gram}\)³. Prečo práve takéto rozmery a prečo titán? Inšpirovali sme sa z videí na youtube, kde môžeme vidieť priemyselné vodné rezačky v akcii, aby sme vedeli posúdiť správnosť našich modelov.

Po dosadení do rovnice 1 dostávame približný výsledok \(p_w = \SI{5e7}{\pascal}\). Skutočný potrebný tlak je však približne sedemkrát väčší.⁴ Veľkosť reálne v praxi používaného tlaku je približne \(p = \SI{3.5e8}{\pascal}\).

Musíme si priznať, že náš odhad má viacero chýb. Najmä čas potrebný na prerezanie a aj rozmery sme odhadli pomerne nepresne. Môže nás ale tešiť, že sa aspoň rádovo približujeme k správnemu výsledku. Skúsme sa zamyslieť, čo je najväčší problém modelu. Hovorí nám, že aj veľmi malý tlak je schopný prerezať plát, iba mu to bude trvať nekonečne dlho. Z praxe ale vieme, že nič také v reálnom svete nepozorujeme.

Jedným z hlavných dôvodov je vedenie tepla. Totižto častice si prostredníctvom vzájomných interakcíí odovzdávajú energiu. Štatisticky, ak má nejaká častica prebytok energie voči svojim susedom, veľmi pravdepodobne sa s nimi o tento prebytok podelí, tí zasa so svojimi susedmi, atď… Takto dochádza k vedeniu energie.⁵

Problém nastáva v momente, keď sa energia odvádza rýchlejšie ako ju dodávame, vtedy nikdy žiadnu väzbu nezrušíme. Názornou analógiou je napúšťanie suda vodou. Predstavme si, že sud má na dne diery. Ak začne vytekať rovnako veľa vody, ako vteká, nikdy sud nenaplníme. Dokonca má naša analógia ešte aj hlbší súvis. Menovite, čím je vyššia hladina, tým rýchlejšie voda vyteká. Analogicky je to s energiou (teplom) – čím jej máme väčší prebytok, tým rýchlejšie vyteká von.

Vcelku dobrým, ale matematicky zložitým zlepšením modelu by bolo vyriešenie rovnice vedenia tepla pre nekonečnú dosku, ktorej spodná a vrchná strana je držaná na konštantnej teplote (kvôli obtekaniu vodou) a v jednom bode na povrchu je zvonku dodávaná energia.

Iným prístupom by sme si vedeli odhadnúť typické energie väzieb v nejakom peknom kockatom kryštáli, spočítať, koľko väzieb treba zničiť a nakoniec by sme našli súvis s tlakom. Ak však prídeme ku kryštálom so zložitou štruktúrou a viacerými druhmi väzieb⁶, problémom bude, že náš model je príliš jednoduchý. Mohli by sme ho postaviť na tom, že máme kryštál soli s krásnou štruktúrou, a potom naškálovať konštanty na železo alebo niečo podobné.

My skúsime urobiť jeden odhad, založený na podobnej myšlienke. Pokiaľ máme peknú kubickú mriežku, vieme odhadnúť počet väzieb \(N\) v typickej elementárnej bunke mriežky materiálu. Nech sú atómy v kocke od seba vzdialené \(d\). Ak energia potrebá na zničenie väzby je \(\mathop{\delta E}\), celková energia je \(N \mathop{\delta E}\). Kebyže väzby ničíme len spôsobom, že na ne tlačíme tak silno, až sa rozdrvia, potom vykonaná práca je \[W = F d = pSd \text{,}\]

kde \(p\) je tlak, \(S=d^2\) plocha rezu a \(d\) je typická vzdialenosť atómov mriežky. Potom \[p= \frac{\mathop{\delta E}N}{d^3}\text{.}\]

Keďže nám ide o veľmi rádový odhad, vykašleme sa na hocijaké škálovanie počtom väzieb, a povieme, že \(N=1\). Je to síce veľmi odvážne, ale chyba takéhoto odhadu je približne jeden rád, s čím sa radi zmierime. Energiu \(\mathop{\delta E}\) pre kryštály železa získame z wikipédie: \(E_t=\SI{2500}{\kilo\joule\per\mole}\).

Odtiaľ \(\mathop{\delta E} \approx \SI{30}{\electronvolt}\) a vzdialenosť \(d=\SI{0.2856}{\nano\metre}\). Dostávame \[p \approx \SI{210}{\giga\pascal}\text{.}\]

Ale pozor! Tlak, ktorý sme teraz vypočítali, je tlak, ktorý spôsobuje dopadajúci prúd vody na dosku. Nie je to tlak \(p_w\), pod ktorým je prúd vody vystrekovaný z trysky, ktorý sme našli v prvom odhade. Ak chceme tieto dva odhady porovnať, musíme nájsť vzťah medzi týmito tlakmi.

Uvažujme rovnaký rez, ako pri prvom odhade. Nech je prierez dopadajúceho prúdu vody \(S_w\). Potom spôsobuje tlakovú silu \(F=p S_w\). Táto sila nie je nič iné, než zmena hybnosti dopadajúceho prúdu vody za čas \(F\approx\frac{\mathop{\Delta q}}{\mathop{\Delta t}}\). \(\mathop{\Delta t}\) je čas, za ktorý sa prúdu vody podarí rozbiť jednu elementárnu bunku kryštálovej mriežky, a nie celkové trvanie rezania \(t\). Potrebujeme teda odhadnúť, koľko buniek mriežky potrebujeme pri rezaní rozbiť. Nech je celková plocha rezu \(S_c\) a jeho hĺbka \(d_c\). Potom sa vo vyrezanom objeme nachádza približne \(n\approx\frac{S_c d_c}{d^3}\) elementárnych buniek.

Na rozbitie jednej z nich teda pripadá čas \(\mathop{\Delta t} \approx \frac{t}{n} \approx \frac{t d^3}{S_c d_c}\). Teraz sa vráťme k 2. Newtonovmu zákonu. Postupnými úpravami dostaneme \[ \mathop{\Delta q} \approx F\mathop{\Delta t} \approx p S_w \frac{t d^3}{S_c d_c} \approx \frac{\mathop{\delta E}}{d^3}S_w\frac{t d^3}{S_c d_c} = \frac{S_w \mathop{\delta E} t}{S_c d_c}. \]

Za čas \(\Delta t\) dopadne na dosku voda s objemom \(V=S_w v\Delta t\). Predpokladajme, že pri dopade odovzdá doske všetku svoju hybnosť, teda \[\mathop{\Delta q} = S_w v\Delta t\rho_w v\approx S_w\rho_w v^2 \frac{t d^3}{S_c d_c}\text{.}\]

Porovnaním nájdených vyjadrení pre zmenu hybnosti dopadajúcej vody dostávame \(\mathop{\delta E}\approx\rho_w v^2 d^3\). Pripomeňme, že z Bernoulliho rovnice poznáme súvis medzi tlakom, pod ktorým je prúd vody striekaný, a rýchlosťou tejto vody, takže konečne získavame pre hľadaný tlak \[ p_w \approx \frac{1}{2} \rho_w v^2 \approx \frac{1}{2}\frac{\mathop{\delta E}}{d^3} \approx \frac{1}{2}p. \]

Dostali sme, že tlak v tryske je porovnateľný s tlakom, ktorý spôsobuje dopadajúca voda na dosku \(p_w\approx p\). To dáva celkom zmysel. Očakávali by sme predsa, že tlak, ktorý vodu urýchlil, je porovnateľný s tým, ktorý voda vyvolala svojim nárazom na nehybnú prekážku. Navyše to ani neodporuje energetickej bilancii. Vypočítali sme, že na rozbitie jednej elementárnej bunky kryštálovej mriežky je potrebná energia \(\delta E\approx p d^3\). Ak voda chce rozbiť bunku mriežky, môžeme predpokladať, že zaplní jej miesto, teda na rozbitie mriežky sa spotrebuje zhruba voda s objemom rádovo \(d^3\). Na tlak v tryske sa môžeme pozerať ako na hustotu energie, teda celkové dodané množstvo energie je približne \(p_w d^3\), čiže naozaj \(p_w \approx p\).

Tento odhad je strašne nepresný – vidíme, že hodnota sa od reálnej hodnoty odlišuje asi o tri rády. Rovnako ani nezávisí na čase, čo nie je správne (premyslite si prečo). Je to niečo podobné, ako keby sme chceli rozpíliť drevo len tým, že budeme tlačiť na pílu. Proste ide to aj jednoduchšie. Pekné je ale na tomto odhade to, že výsledný tlak je rovný Youngovmu modulu pružnosti. Môžeme aspoň povedať, že sme odhadli hornú hranicu potrebného tlaku.

Na záver si skúste premyslieť, prečo sa v praxi využíva rezanie vodou.⁷