5. O držku vzorové riešenie

Zo zadania máme informáciu, že z rýchlosti \(v=\SI{10}{\metre\per\second}\) zabrzdíme na dráhe \(s=\SI{10}{\m}\). To by sme mohli využiť na získanie informácie o maximálnom zrýchlení (spomalení) bicykla a tým pádom aj o veľkosti brzdnej sily. Avšak nedá sa to urobiť jednoduchšie?

Predpokladajme, že bicykel s jazdcom majú celkovú hmotnosť \(m\). Tým ale poznáme počiatočnú energiu bicykla pred začatím brzdenia \(E=\frac{1}{2}mv^{2}\). Po zastavení má bicykel nulovú energiu, takže nejaké sily museli konať prácu.

Zamyslime sa nad tým, aké sily sú pôvodcom tohto brzdenia. Je jasné, že zdrojom tejto práce sme my tým, že sme zatiahli za páčku. Lenže počítať takto vykonanú prácu je trošku problematické.

Je dôležité uvedomiť si, kde dochádza k stratám energie. Zadanie hovorí, že koleso pri brzdení neprešmykuje, takže na kontakte koleso-vozovka k žiadnym stratám energie nedochádza. Jediným miestom je teda kontakt bŕzd s kolesom. Uvažovať budeme klasické čeľusťové brzdy, takže toto miesto leží prakticky na okraji kolesa.

Čo sa teda pri brzdení deje? Zatiahneme za páčku a pomocou lanka sa zovrú čeľuste bŕzd, čím vyvolajú brzdnú silu \(F\) na obvode kolesa. Všimnime si, že rovnaký efekt by sme dosiahli, keby sme priamo pôsobili na okraj kolesa silou \(F\), takže prácu \(W\) potrebnú na zabrzdenie možno počítať pomocou tejto sily \(F\) a nie podľa toho, akou silou pôsobíme pri zatiahnutí páčky.

Predpokladajme, že brzdíme rovnomerne, takže sila \(F\) je konštantná počas celého brzdenia. Potom prácu vypočítame ako obyčajný súčin tejto sily a dráhy, na ktorej pôsobí. Tým, že brzdná sila pôsobí prakticky na okraji kolesa a koleso neprešmykuje, je táto dráha rovná brzdnej dráhe bicykla \(s\). Tým pádom \(W=Fs\).

Dajme do rovnosti počiatočnú energiu bicykla a prácu brzdnej sily. Odtiaľ vieme získať informáciu o veľkosti brzdnej sily \[ F = \frac{mv^{2}}{2s}. \qquad(1)\]

Teraz už pristúpme k situácii, keď ideme dolu kopcom. Predpokladajme sklon svahu \(\alpha\). Situácia vyzerá ako na obrázku. To, čo rozhoduje o tom, či sa v konečnom dôsledku pri brzdení prevrátime alebo nie, sú momenty síl. Momenty síl budeme počítať vzhľadom na bod, okolo ktorého sa bude bicykel v prípade prevrátenia otáčať. Je ním os predného kolesa.

Aké sily na bicykel pôsobia? V prvom rade je to tiažová sila \(F_{G}=mg\) pôsobiaca nadol a normálové sily \(N_{P}\) a \(N_{Z}\), ktorými pôsobí svah na predné a zadné koleso. Po začatí brzdenia k nim pribudne ešte brzdná sila \(F\) pôsobiaca na okraji kolesa.

Zrátajme si momenty týchto síl. Moment vypočítame ako obyčajný súčin veľkosti sily a dĺžky ramena sily, t. j. vzdialenosti vektorovej priamky sily¹ od osi otáčania, ktorou je os predného kolesa.

V prípade sily \(N_{P}\) jej vektorová priamka prechádza priamo osou otáčania, takže jej moment je nulový. Moment sily \(N_{Z}\) nás nezaujíma, pretože iba zabezpečuje to, že za bežných okolností sa bicykel neotáča. V momente, keď sa bicykel začne pri brzdení pretáčať, zadné koleso sa nadvihne a vtedy je \(N_{Z}=0\), čiže aj jej moment je v tomto prípade nulový.

Záver je, že o tom, či sa bicykel pri brzdení prevrhne, rozhodujú len momenty tiažovej a brzdnej sily. Moment brzdnej sily má veľkosť \(Fr\), kde \(r\) je polomer kolesa, a spôsobuje otáčanie v zápornom zmysle. Moment tiažovej sily je \(mgx\), kde \(x\) je horizontálna vzdialenosť ťažiska bicykla s cyklistom od osi predného kolesa, a pôsobí v kladnom zmysle.

Teraz už vieme povedať, za akých okolností sa bicykel pri brzdení prevrhne. Za prevrhnutie je zodpovedná brzdná sila. Tiažová sila sa naopak snaží brzdnú silu umravniť. K prevrhnutiu teda dôjde, ak moment brzdnej sily je väčší než moment tiažovej sily. Pre hraničný prípad platí \(Fr=mgx\).² S využitím ({eq. 1}) dostávame \[x = \frac{v^{2}r}{2sg}\text{.}\qquad(2)\]

Zatiaľ sme nikde nespomenuli sklon svahu a pritom to je to, čo nás zaujíma. Kde tu teda sklon svahu vystupuje? Na sklone závisí rameno tiažovej sily \(x\). Vyjadrime si ho z geometrie problému. Na to ale potrebujeme lokalizovať ťažisko bicykla s cyklistom.

Zvoľme si dva význačné smery dané spojnicou kolies a kolmicou na ňu. Nech ťažisko leží vo vzdialenosti \(a\) za osou predného kolesa a výške \(b\) nad spojnicou kolies. Potom rameno tiažovej sily možno vyjadriť ako \[x = a\cos{\alpha} - b\sin{\alpha}\text{.}\qquad(3)\]

Dajme do rovnosti výrazy ({eq. 2}) a ({eq. 3}). Odtiaľ už možno dopočítať hraničný sklon svahu \(\alpha\). Pri výpočte využijeme, že \(\alpha\) je ostrý uhol, a teda jeho sínus i kosínus sú kladné. Potom \(\cos\alpha=+\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}\). Postupnými úpravami dostávame \[x=a\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}-b\sin\alpha\text{,}\] \[\sin^{2}\alpha+\frac{2bx}{a^{2}+b^{2}}\sin\alpha+\frac{x^{2}-a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=0\text{,}\] \[\sin\alpha=\frac{-bx\pm a\sqrt{a^{2}+b^{2}-x^{2}}}{a^{2}+b^{2}}\text{,}\] kde \(x\) je dané výrazom ({eq. 2}). Hľadáme riešenie, ktoré dáva kladný ostrý uhol. Vidíme, že ho dostávame, keď vezmeme riešenie pre „+“, teda \[\alpha = \arcsin\left(\frac{a\sqrt{a^{2}+b^{2}-x^{2}}-bx}{a^{2}+b^{2}}\right)\text{.}\qquad(4)\]

Dopracovali sme sa k nejakému výsledku, takže by sme sa mali zamyslieť nad tým, či zodpovedá tomu, čo by sme očakávali. Predstavme si, že naše brzdy sú veľmi slabé. V takom prípade brzdná dráha je veľmi veľká. Výraz ({eq. 2}) potom ide do nuly. Keď v ({eq. 4}) položíme \(x=0\), dostaneme \(\alpha = \arcsin\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)\), čo zodpovedá takému sklonu svahu, kedy ťažisko je priamo nad osou predného kolesa, takže i zanedbateľne slabé brzdenie spôsobí prevrátenie. Vidíme, že výsledok je konzistentný s tým, čo očakávame, takže môžeme o čosi pokojnejšie spávať, že sme to vyriešili dobre.

Nájdime ešte numerický odhad. Na to potrebujeme odhadnúť polohu ťažiska a polomer kolesa. Povedzme, že \(a=b=\SI{0.5}{\metre}\) a \(r=\SI{30}{\centi\metre}\). V takom prípade dostávame \(\alpha \doteq \ang{32.75}\).

Prv než sa dostaneme k druhej otázke, povedzme si, čo by sa zmenilo, keby sme uvažovali kotúčové brzdy namiesto čeľusťových. Pre kotúčové brzdy platí, že k brzdeniu dochádza bližšie k osi otáčania vo vzdialenosti \(\rho < r\), takže brzdná sila \(\tilde{F}\) teraz pôsobí na dráhe \(\tilde{s}=N\cdot2\pi\rho\), kde \(N=\frac{s}{2\pi r}\) je počet otáčok kolesa od začiatku brzdenia do zastavenia, čiže \(\tilde{s}=\frac{\rho}{r}s\). Z rovnosti počiatočnej energie a vykonanej práce teraz dostávame \(\tilde{F}=\frac{r}{\rho}\frac{mv^{2}}{2s}=\frac{r}{\rho}F\), takže kotúčové brzdy vyvolávajú pri rovnakej brzdnej dráhe väčšiu silu. To by mohlo naznačovať, že aj jej moment by mohol byť väčší a teda k prevráteniu bicykla by mohlo dôjsť skôr. Nenechajme sa však zmiasť. Tým, že sila \(\tilde{F}\) pôsobí vo vzdialenosti \(\rho < r\), jej moment je \(\tilde{F}\rho=\frac{r}{\rho}F\rho=Fr\), čo je presne rovnaký moment, aký spôsobovali čeľusťové brzdy, takže nezáleží na tom, aký typ bŕzd používame.

Pristúpme konečne k druhej otázke. Tu by mal byť výpočet už priamočiary. Opäť budeme vychádzať z energetickej bilancie. Jediný rozdiel oproti rovine je, že v tomto prípade sa mení aj potenciálna energia. Predpokladajme, že bicykel zastane na dráhe \(s^{\prime}\), takže brzdná sila vykoná prácu \(W^{\prime}=Fs^{\prime}\). Tá sa má rovnať celkovému poklesu energie \(E^{\prime}=\frac{1}{2}mv^{2}+mg\mathop{\Delta h}\), kde \(\Delta h=s^{\prime}\sin\alpha\) je výškový rozdiel, ktorý cyklista prekoná, kým zastane. Využijúc ({eq. 1}) odtiaľ dostávame \[s^{\prime}=\frac{v^{2}s}{v^{2}-2gs\sin\alpha}\text{,}\qquad(5)\]

kde \(\alpha\) je daná výrazom ({eq. 4}). Už len dosadiť číselné hodnoty a dostaneme numerický výsledok.

Hups. Keď tak urobíme, dostávame zápornú dráhu \(s^{\prime}\doteq\SI{-122}{\metre}\). No nič to, niekde sme sa sekli pri nahadzovaní do kalkulačky, tak to skúsme ešte raz. Znova tá istá chyba?! A znova? Do tretice ten istý výsledok? To už nebude náhoda! Kde sme teda urobili chybu? Veď náš postup musel byť správny.

Nech \(t_{0}\) je čas, v ktorom sme začali brzdiť a mali sme vtedy rýchlosť \(v\) dolu kopcom. Predpokladajme teraz ale, že aj pred časom \(t_{0}\) sme brzdili rovnako, takže všetky zrýchlenia boli aj vtedy rovnaké. V takom prípade nám záporná brzdná dráha hovorí, že nulovú rýchlosť sme mali v nejakom čase \(t < t_{0}\), čiže vyššie na svahu. Jediné rozumné vysvetlenie je, že aj napriek brzdeniu stále zrýchľujeme. Poďme to overiť.

Uvažujme, že sa na svahu posunieme o malú vzdialenosť \(d\). Brzdy na tejto dráhe vykonajú prácu \(\delta W=Fd\). Potenciálna energia zatiaľ klesne o \(\delta U=mgd\sin\alpha\). To znamená, že kinetická energia sa musí zmeniť o \(\delta T=\delta U-\delta W=\left(mg\sin\alpha-F\right)d\). Aby kinetická energia klesala, musí byť \(\delta T<0\), teda \(F>mg\sin\alpha\). Využijúc ({eq. 1}) dostávame \[\sin{\alpha} < \frac{v^{2}}{2sg}\text{.}\qquad(6)\]

Pre dané numerické hodnoty to vychádza \(\alpha < \ang{30}\), lenže sklon svahu je až \(\alpha \doteq \ang{32.75}\), takže nech sa akokoľvek snažíme, len s prednou funkčnou brzdou sa zrážke nevyhneme.

###Komentár k riešeniam

Ukázalo sa, že táto úloha spôsobila o čosi väčšie problémy, než by sa čakalo. Často sa objavovali nasledovné dve chyby.

Prvou z nich bolo, že ste za os otáčania brali bod kontaktu predného kolesa so zemou. To samozrejme môžete, lenže potom by bicykel nevykonával translačný pohyb len v smere svahu. Predstavte si, že z papiera vystrihneme bicykel a položíme ho na nakreslenú priamku predstavujúcu povrch zeme. Teraz spodok predného kolesa prišpendlíme na tú priamku a bicykel otočíme. Časť predného kolesa by sa dostala pod túto priamku, takže vidíme, že prevracanie bicykla nemožno modelovať transláciou v smere svahu a rotáciou okolo bodu dotyku kolesa so zemou. Ak však za bod rotácie zvolíme os otáčania predného kolesa, tento problém nenastane.

Omnoho väčšou chybou bolo, že ste sa rozhodli riešiť úlohu v neinerciálnej sústave, a potom ste zabúdali na jeden moment sily. Voľba vzťažnej sústavy pohybujúcej sa spolu s bicyklom sa javila ako dobrý nápad. Veď v nej je predsa bicykel v pokoji, takže sa stačí zamerať na otáčanie. Správne ste pridali neinerciálnu zotrvačnú silu, a následne ste porovnávali jej moment s momentom tiažovej sily. Ale moment! Nezabudli ste na niečo? Rovnice zapísané v nejakej vzťažnej sústave popisujú, ako daný fyzikálny systém vidíme v tejto sústave. Predpokladajme, že váš popis pomocou momentov zotrvačnej a tiažovej sily je správny. Ďalej predpokladajme, že sa bicykel prevracia, čiže podľa tohto matematického popisu musí byť moment zotrvačnej sily väčší než moment tiažovej sily. Prejdime teraz späť do inerciálnej sústavy. V matematickom popise sa to prejaví tak, že odstránime neinerciálnu zotrvačnú silu. To ale znamená, že jediný moment, ktorý zostane, je moment tiažovej sily, a teda v inerciálnej sústave by sme mali pozorovať, že sa bicykel neprevracia. Je toto správne? No zrejme nie. Tak kde sa stala chyba? Zabudli ste totiž na to, že i v neinerciálnej sústave sa na bicykli točia kolesá, takže keď zovrieme čeľuste bŕzd, tak predné koleso bude na brzdy (a tým pádom na bicykel) pôsobiť trecou silou, ktorá má nenulový moment a snaží sa bicykel prevrátiť. Aké z toho plynie ponaučenie? Neinerciálne vzťažné sústavy sú fuj a treba sa im vyhnúť, pokiaľ to je možné.

Práve uvedené chyby väčšinou nespôsobovali veľké chyby v odhadoch. Pri bodovaní sme boli benevolentní a ak ste sa aj dopustili niektorej z nich, no dostali ste rozumné odhady a správne ste ich zdôvodnili, tak ste stále mohli dostať plný počet bodov. Rozpätie vašich odhadov bolo skutočne široké – od \(\ang{0}\) až po vyše \(\ang{70}\).