5. Kancelárske šantenie vzorové riešenie

Zuzka sa nám neodráža nohami! Hrôza, čo teraz? Nuž, nič strašného sa nedeje. Na sústavu Zuzka + stolička nepôsobí vonkajšia sila, lebo tiažová sila sa vyruší so silou od podložky – zeme. Teda podľa jedného z Newtonových zákonov platí \(\vec{F}=\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t} = 0\), vektor sily sa rovná časovej zmene vektora hybnosti. Takže sa nemení hybnosť sústavy a jej ťažisko zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe. To nám nevadí, my nepotrebujeme, aby Zuzka s kreslom niekam docestovala a pri rotácií ťažisko pokojne môže stáť.

Čo nám opisuje rotáciu sústavy? Jej moment hybnosti. Ekvivalentná rotačná rovnica k spomenutej je \(\vec{M}=\frac{\Delta \vec{L}}{\Delta t}\). \(\vec{M}\) je moment sily, fyzikálna veličina opisujúca ako dobre sila niečo otáča. Platí \(\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}\), kde \(\vec{r}\) je najkratší vektor od osi otáčania ku pôsobisku sily.

Pre nás, čo sa nekamarátime s vektorovým súčinom stačí poznať, že veľkosť otáčavého účinku sily je vzdialenosť od osi krát zložka sily, ktorá roztáča objekt. Napríklad pre dvere vieme, že ľahšie sa otáčajú ak tlačíme ďalej od pántov (zväčšujeme \(\vec{r}\)) a takisto ak pôsobíme kolmo na ne (ak by ste ťahali pozdĺž dverí – snažili sa ich vytrhnúť z pántov, tak by ste ich veľmi neotáčali). A čo nám uvedená rovnica hovorí? Tento otáčavý účinok spôsobuje zmenu vektora momentu hybnosti \(\vec{L}\), ktorý sa dá vypočítať ako \(\vec{L}=I\vec{\omega}\)¹. Takže napríklad ak \(\vec{p}=m\vec{v}\) pomocou slovníka preložím na \(\vec{L}=I\vec{\omega}\). Nakoniec, ešte pár slov k momentu zotrvačnosti \(I\). Vyjadruje ako je rozložená hmota okolo osi otáčania. Ak je hmota ďaleko (ťažko ju roztočiť), \(I\) je veľké. Naopak, ak je hmota blízko osi otáčania, tak sa ľahšie roztočí a \(I\) je malé.

Všetky sily na Zuzku pôsobiace (tiažová a normálová od podložky) pôsobia v jej ťažisku. Rotácia, po ktorej Zuzka túži, bude okolo osi prechádzajúcej ťažiskom. To znamená, že pôsobiace sily majú nulový moment sily, a teda podľa našej rovnice, moment hybnosti \(L\) sa v čase nemení! Na začiatku Zuzka nerotuje, platí \(\vec{L}=0\), takže ak začne napríklad otáčať vystretou rukou doprava, jej telo aj s kreslom sa začnú otáčať doľava, aby moment hybnosti zostal nulový. Nuž, ale Zuzka začne byť smutná, lebo vie otočiť vystretú ruku asi len okolo \(\ang{180}\) a potom zábava skončila.

Vieme však použiť trik a ruku priložiť k telu, tým zmenšiť moment zotrvačnosti \(I\), priloženú ruku otočiť späť, vystrieť ruku, tým zväčšiť moment zotrvačnosti \(I\), a otočiť ju zasa v opačnom smere ako si želáme točiť kreslom. Pri spätnom pohybe síce trošku uberieme z \(\vec{L}\), ale vďaka meneniu momentu zotrvačnosti pri pohybe s vystretou rukou získame viac rotácie ako stratíme pri spätnom pohybe.

Video o tom, ako sa s úlohou popasovali vedúci FKS, nájdete na https://youtu.be/A8pU0zExSPc.

Komentár k riešeniam

Najčastejšie sme museli strhávať body za absenciu videa, ktorého sme sa dožadovali. Z fyzikálneho hľadiska najčastejšou chyba bolo, keď ste argumentovali otáčanie trecou silou. Trecie sily sú vonkajšie sily a my predsa hľadáme spôsob, ktorý by fungoval aj bez vonkajších síl, teda napríklad v otvorenom vesmíre. Ďalší opísaný spôsob sa opieral o zmenu ťažiska. Tá mala byť spôsobená buď odrazením od okraja stoličky a dopadom na druhú stranu alebo istým neurčitým hmýrením tela. Pri odraze by sme pootočili stoličku do strany opačnej, ako sa odrážame a následne by sme dopadom zrušili akékoľvek získané pootočenie. Takisto podobne pri hmýrení tela by sme otočenie nezískali, pokiaľ by sme nevyužívali už popísaný zákon zachovania momentu hybnosti.

Príjemne nás prekvapili niektoré pekné videá, kde riešitelia roztáčali nad hlavou hmotný objekt, teda stolička musela kvôli momentu hybnosti sa točiť opačne. Najextravagantnejšie riešenie bolo vypúšťanie hasiaceho prístroja, ktorý dodal potrebný impulz na otočenie. Pokúsime vybrať najzaujímavejšie videá a uverejniť kompiláciu na našej stránke na Facebooku.