3. Zabudnutá sústava vzorové riešenie

Zadanie

Možno sa teraz sami seba pýtate: aká veľká je tá povestná Jimiho skriňa, že sa do nej zmestí toľko sústav? To podľa všetkého nevie ani on sám. Podstatné však je, že minule z nej zase jednu sústavu vytiahol. Súdiac podľa hrúbky vrstvy prachu na nej si toho sústava už zjavne veľa pamätá. Horšie je, že Jimi si nepamätá o sústave vôbec nič, okrem toho, že koeficienty trenia medzi všetkými telesami (až na laná v kladkách) sú rovné \(f\). Preto sa Jimi pýta: aké je zrýchlenie sústavy?

Najskôr si zhrňme, čo o sústave vieme:

Zo zadania poznáme koeficient šmykového trenia \(f\), hmotnosti zavaží \(m\) a vieme, že medzi kladkami a lanami trenie nie je. O lanách budeme predpokladať, že sú dokonale pevné. Na telesá samozrejme pôsobí tiažová sila. Predpokladáme, že poznáme tiažové zrýchlenie \(g\).

3Úlohou je vypočítať celkové zrýchlenie sústavy. Skúsme si teda nakresliť sily, ktoré pôsobia vo vertikálnom smere. V obrázku označíme telesá písmenami \(A\), \(B\) a \(C\).

Keďže všetky telesá majú rovnakú hmotnosť \(m\), pôsobí na ne, čo do veľkosti, rovnaká tiažová sila \(F_g\). Keďže trecie sily sú úmerné normálovým silám, zostáva nám len určiť, aké sú veľkosti normálových síl pôsobiacich na jednotlivé telesá.

Teleso \(C\) tlačí na teleso \(B\) len svojou tiažou, odtiaľ vieme, že normálová sila pôsobiaca na teleso \(C\) na styku s telesom \(B\) je rovná \(F_g\). Avšak trecia sila prislúchajúca tejto normálovej sile, pôsobí aj na horný a aj na dolný kváder, čiže na teleso \(C\) aj \(B\). Okrem toho pôsobí na teleso \(B\) normálová sila od podložky veľkosti \(F_{\mathrm{AB}} + F_g = 2 F_g\). K nej prisluchajúca trecia sila pôsobí len na teleso \(B\). Pôsobenie trecích síl vidíme na ďalšom obrázku.

Teraz sa pozrieme na laná, ktoré sme zatiaľ skoro vôbec neuvažovali. Laná sú, ako sme už spomenuli, dokonale pevné. Čo to ale znamená? Dokonalou pevnosťou lana rozumieme to, že sa nepredlžuje ani neskracuje pôsobením vonkajších síl. Teda každá častica lana je v vzhľadom na ostatné v pokoji. Dôsledok toho celého je, že ak na koniec lana pôsobíme silou \(F\), na každú časticu, teda aj na druhý koniec, pôsobí sila rovná \(F\). Ak je druhý koniec niekde upevnený, bude na lano pôsobiť silou \(F\) na bod upevnenia. To je všetko, čo potrebujeme vedieť o lanách na vyriešenie tejto úlohy.

Zakreslime si ťahové sily v lanách do obrázku. Budeme ich označovať \(T_1\) a \(T_2\).

Teraz si už iba stačí napísať pohybové rovnice pre jednotlivé telesá \(A\), \(B\) a \(C\), tie sú nasledovné:

\[ma=F_g-T_1\text{,}\] \[ma=T_1-T_2-f \cdot 2 \cdot F_g-f \cdot F_g\text{,}\] \[ma=T_2-f \cdot F_g\text{.}\]

Máme tri rovnice o troch neznámych, teda ich stačí už len vyriešiť. Tak získame riešenie \[a=\frac{(1-4f)}{3}g\text{.}\]

Nakoniec sa ešte letmo pozrieme na limitný prípad \(f = 0\) a uvedomíme si, že naše riešenie platí len za podmienky \(f \leq \frac{1}{4}\) – inak sa samozrejme sústava hýbať nebude.

Komentár opravovateľa

Najčastejšiu chybu ste robili hneď na začiatku, keď ste nenakreslili všetky sily. \(\SI{90}{\percent}\) z vás zabudlo na tú úbohú tretiu silu, ktorou pôsobí teleso C na teleso B. Zrejme vás mätie, že by to predsa mala byť tá istá sila ako tá, ktorou pôsobí B na C, ale to nie je pravda. Sily sa definujú veľkosťou, smerom a telesom, na ktoré pôsobia. V tomto prípade je veľkosť rovnaká, smer opačný a teleso pôsobenia iné.

Nakoniec som body udeľovala podľa Kvíkovho druhého postulátu, „vždy pri kontrole riešenia uvažuj limitné prípady“. Tým z vás, ktorým aspoň vyšlo, že pre \(f = 0\) je \(a = \frac{g}{3}\) som udelila bodov viac. V duchu tohoto užitočného postulátu vám odporúčam kontrolovať si po sebe vaše ďalšie výsledky aj v budúcnosti.