1. Dekoratívna úloha vzorové riešenie

Poďme toho najprv zo zadania vydolovať čo najviac. Zadanie nám tvrdí, že všetky Čajkine sily sú zvislé. Aj tiažová sila, ktorá pôsobí v ťažisku trojuholníka, má zvislý smer. Zistili sme teda, že všetky sily pôsobice na trojuholník sú rovnobežné. Ďalšou dôležitou informáciou je podmienka, že trojuholník musí byť statický. Čo to znamená? No predsa chceme, aby sa trojuholník neposúval a ani neotáčal (odbornejšie nekonal translačný a rotačný pohyb). Ak sa trojuholník nemá posúvať, výsledná sila pôsobiaca na trojuholník musí byť nulová, a ak sa nemá otáčať, potom výsledný moment sily tiež musí byť nulový. A načo nám je informácia, že spodná strana trojuholníka je vo vodorovnej polohe? To sa hádam dozvieme neskôr.

Vráťme sa teraz k pojmu momentu sily. V škole ste sa určite učili, že moment sily je možné určiť vzhľadom k ľubovoľnej osi, ktorú si sami zvolíme (nemusí to byť os otáčania).¹ Veľkosť momentu sily vypočítame ako súčin sily a ramena sily \(M = F \cdot a\)² (rameno sily \(a\) je kolmá vzdialenosť vektorovej priamky sily od osi otáčania). Pri výpočte môžeme hľadať spomínanú vzdialenosť, avšak v takom prípade môžeme naraziť na zložitú geometriu. Častokrát je jednoduchšie si vektor rozložiť na dve zložky, pričom jedna z nich na teleso nemá otáčavý účinok (jej rameno je nulové a teda jej moment sily je tiež nulový).

Akú os si zvolíme v Čajkinom trojuholníku? Ak táto os bude prechádzať cez pôsobisko dvoch síl, ich moment sily vzhľadom na túto os bude nulový. Za os je teda rozumné si vybrať buď stranu trojuholníka alebo jeho ťažnicu. My si zvolíme ťažnicu, ale rovnako by sme sa dopracovali k výsledku aj so stranami trojuholníka (skúste si to rozmyslieť).

Vyberme si napríklad ťažnicu na stranu \(c\). Sila z vrchola \(C\) a tiažová sila \(F_{g}\) majú nulový moment sily. Sily pôsobiace vo vrchole \(A\) a \(B\) si rozložíme na zložku, ktorá je kolmá na rovinu trojuholníka (označme \(F_{A \bot}\) a \(F_{B \bot}\)), a na zložku, ktorá leží v rovine trojuholníka (označme \(F_{A\triangle}\) a \(F_{B\triangle}\)).

Sily ležiace v rovine trojuholníka \(F_{A ∆}\) a \(F_{B ∆}\) nemajú otáčavý účinok voči ťažnici (dobre si to rozmyslite). Keďže ťažnica prechádza stredom strany \(c\) (bod \(S_{c}\)), ramená kolmých zložiek síl budú rovnako veľké. Výsledný moment sily má byť nulový a tak platí: \[M = F_{\mathrm{A\perp}} \cdot a - F_{\mathrm{B\perp}} \cdot a = 0\text{,}\] \[F_{\mathrm{A\perp}} = F_{\mathrm{B\perp}}\text{.}\]

Keďže pôvodné sily \(F_{A}\), \(F_{B}\) boli navzájom rovnobežné, pri rozklade sa ich pomer veľkostí nezmenil. Teda aj \(F_{A} = F_{B}\).

Ak by sme za os zvolili ostatné ťažnice, rovnakou úvahou by sme dospeli k výsledku \(F_{A} = F_{B} = F_{C}\). Výsledná sila musí byť tiež nulová teda platí: \(F = F_{A} + F_{B} + F_{C} - F_g = 0\), z čoho vyplýva \[F_{A} = F_{B} = F_{C} = \frac{F_g}{3}\text{.}\]

Využili sme v našom riešení, že spodná strana trojuholníka je vo vodorovnej polohe? Nie. Táto informácia nám nakoniec bola nanič :-)