4. Hustý objekt poprvé vzorové riešenie

Ako paranoidnejší riešiteľ mohol vytušiť zo zadania, ambíciou úlohy bolo dotlačiť vás k inému výpočtu (priemernej) hustoty telesa než bezprostredným využitím definitorického \(\rho=\frac{m}{V}\). K dispozícii máme neforemnú nádobu, rovnoramenné váhy a závažia. Na naše veľké potešenie a na úžitok nášho riešenia sme stále schopný a túto schopnosť využívajúci zistiť hmotnosť nami zvoleného telesa (pomocou rovnoramenných váh a závaží), označme ju \(m\) (\(m=V\rho\)). Tvar nádoby síce ovplyvňuje našu ochotu, schopnosť a možnosť merať objem, avšak Archimedov zákon v nej funguje rovnako dobre. Uvažujme teleso hustoty vyššej než voda (hustota vody je v kontexte príkladu považovaná za známu, keďže je známa všeobecne). Ak odvážime naše teleso tak, že celé bude ponorené vo vode, nameriame „nadľahčenú hmotnosť“ \(m'=V(\rho-\rho_0)\), kde \(\rho_0\) je hustota vody. Máme teda dve rovnice o dvoch neznámych (z ktorých nás dokonca zaujíma len jedna), a teda hustotu telesa máme ako na podnose. A teda: \[\rho=\frac{\rho_0}{1-\frac{m'}{m}}\]

Ako bolo zľahka naznačené, problém nastáva ak je hustota meraného telesa nižšia než hustota vody. Avšak ani technické peripetie spojené s týmto nie sú neprekonateľné, stačí teleso dostatočne zaťažiť niečím, čoho „nadľahčenú hmotnosť“ poznáme, a tú následne odpočítať od výslednej. V tom prípade bude naša „nadľahčená hmotnosť“ záporná, čo ale nie je žiaden problém, keďže nás výpočet funguje rovnako dobre (je namieste overiť si, že v tom prípade bude vypočítaná hustota nižšia od hustoty vody, presne podľa očakávania). Ešte je nutné podotknúť že postup doteraz načrtnutý predpokladá (v mnohých prípadoch rozumne) zanedbateľnosť misky/hocčoho na čom vážime v porovnaní s meraným telesom.

Bolo by vhodné k meraniam aspoň odhadnúť aj ich chybu. Jediný vstup do chyby (okrem dosadenej hustoty vody, ale tá nie je výsledkom nášho merania, a teda ju v odhade vynecháme) je nepresnosť merania hmotnosti. Používali sme najmenšie päťgramové závažia, a teda nepresnosť merania \(\delta m\) je asi dva a pol gramu. Trochu si upravme vzorec z ktorého počítame hustotu: \[\rho=\frac{m}{m-m'}\rho_0\]

Sčítavaním absolútnych (pre \(m-m'\) dostaneme odchýlku) a relatívnych odchýlok sa vieme dopracovať k vzťahu:

\[\delta\rho=(\frac{2\delta m}{m-m'}+\frac{\delta m}{m})\rho \]

Ak sa pozrieme na odchýlky, badáme nepríjemnú nedôveryhodnosť merania pre oceľové guľočky. To však nie je až také prekvapivé, keďže oceľ má v porovnaní s husotou priveľkú hustotu na to, aby ponorenie do vody malo spoľahlivo merateľný efekt na „hmotnosť“ telesa.

Samozrejme, tento postup nie je jediný možný, ale ostatné sú len nejakou variáciou zdieľajúcou princípy s týmto postupom.