6. Severní vítr je krutý... vzorové riešenie

Pri riešení tejto úlohy sa mohlo vyskytnúť isté zmätenie. Týmto zmätením si prešli aj všetci vedúci, ktorí sa s touto úlohou stretli na istej súťaži. Nanešťastie Vás musíme sklamať, táto úloha je naozaj riešiteľná a nie je vôbec ťažká. Vyžaduje si však poriadnu dávku zamyslenia a dôsledné čítanie zadania ;-)

Na začiatok si musíme uvedomiť, že do hry vstupujú dva subjektívne faktory. To, ako pociťuje teplotu človek vs. to, ako meria teplotu teplomer, a potom rozdiel medzi pociťovaním teploty v bezvetrí a vo veternom počasí.

Človek pociťuje chlad alebo teplo podľa toho, aké veľké sú teplotné straty resp. príjmy cez pokožku. Naše bunky nevnímajú absolútnu hodnotu teploty, ale sú citlivé na výkon tepelných strát. Preto je napríklad sedenie na drevenej lavičke príjemnejšie ako sedenie na kovovej, hoci majú rovnakú teplotu. V tomto vzoráku sa teda budeme rozprávať o tepelných stratách, a to stratách spôsobených hlavne vedením a prúdením tepla.¹

V prípade bezvetria sa v okolí pokožky vytvorí nad vrstvou kože tenučká vrstva vzduchu, ktorá kvôli viskozite stojí na mieste, a tak tepelne izoluje našu pokožku. Môže to znieť paradoxne, ale práve táto vzduchová vrstva spôsobuje, že nepociťujeme pocit chladu². Keď začne fúkať, o túto tenučkú izolačnú vrstvu vzduchu prídeme a tepelné straty cez pokožku sú potom väčšie, čo všetci vnímame ako pocit chladu.

Musíme si uvedomiť, že k rovnakému efektu dochádza aj pri teplomeroch! Tam sa však výrobcovia snažia minimalizovať tento efekt tým, že používajú materiály, ktoré majú veľmi dobrú tepelnú vodivosť (všimnite si, že špička teplomerov je kovová) a samotný teplomer sa snažia prispôsobiť tak, aby mal aj malú tepelnú kapacitu³. Zabezpečia tak, že teplomer vie pomerne rýchlo reagovať na zmeny teploty a teplota, ktorú ukazuje teplomer má veľmi blízko skutočnej teplote.

Pre riešenie úlohy je kľúčová informácia zo zadania, že po tom, čo začalo fúkať sa teplota, ktorú ukazuje teplomer, nezmenila! To ľudskou rečou znamená, že napriek tomu, že sa odstránila aj tenučká vrstva vzduchu okolo teplomera, tak sa nezmenila tepelná rovnováha medzi teplomerom a okolím, a teda nutne ani výkon tepelných strát, ktoré unikajú z teplomera do okolia (v ustálenom stave sú nulové). Táto skutočnosť nie je úplne triviálna, keďže to, ako dobre odvádza vzduch teplo závisí od rýchlosti pohybu molekúl.

Rýchlosť pohybu molekúl nie je určená iba kinetickou energiou mikroskopického pohybu (teplota) ale aj kinetickou energiou makroskopického pohybu (vietor). Preto v princípe môže aj teplomer ukázať nižšiu hodnotu po tom, ako začne fúkať, napriek tomu, že sa nezmenila kinetická energia mikroskopického pohybu molekúl (def. teploty vzduchu). Tento efekt sa volá wind chill⁴. Informácia zo zadania nám vraví, že k tomuto efektu však nedochádza! A jediný efekt, ktorý nastáva, je iba strata tenkej izolačnej vrstvy vzduchu nad pokožkou (a aj špičkou teplomera).

Pre účely zvyšného riešenia úlohy budeme teda za objektívnu považovať teplotu, ktorú nám ukáže teplomer. Pustime sa teda konečne do riešenia! Situácia vyzerá nejako takto:

V ustálenom stave je výkon tepelných strát, ktoré pripadajú na jednotku plochy úmerný rozdielu teplôt a konštante závisiacej na materiáli. Pozrime sa najprv na situáciu v bezvetrí.

Ak budeme uvažovať vrstvu kože s teplotou \(T_{\text{telo}} = \SI{37}{\celsius}\), stojaci vzduch nad vrstvou kože s teplotou \(T_{\text{pocit}} = \SI{5}{\celsius}\)⁵ a okolitý vzduch s teplotou \(T_{\text{okolie}} = \SI{-5}{\celsius}\), tak v ustálenom stave, kedy sa už nemení teplota stojacej vrstvy vzduchu musí platiť rovnosť tepelných výkonov medzi vnútrom tela a najvrchnejšou časťou pokožky – \(P_1\) a tepelnými stratami cez tenučkú stojacu vrstvu vzduchu \(P_2\),

kde \(\alpha\) je koeficient vyjadrujúce tepelné vlastnosti kože, \(\beta\) je koeficient vyjadrujúci tepelné vlastnosti vzduchu a \(S\) je plocha rozhrania medzi kožou a vzduchom.

V prípade, keď začne fúkať, a teda prestane existovať tenučká vrstva stojaceho vzduchu, je celkový výkon tepelných strát jednoducho \[ P' = \alpha S \left(T_{\text{telo}} - T_{\text{okolie}}\right)\text{.} \]

Podľa zadania chceme nájsť takú teplotu vzduchu, ktorú by musela mať vonkajšia vrstva pokojného stojaceho vzduchu, tak aby Adam pociťoval rovnaké tepelné straty, ako keď fúka. Celkový výkon tepelných strát sme určili už o kúsok vyššie, a teda \[ {P'}_1 = \alpha S \left(T_{\text{telo}} - T_{\text{okolie}}\right)\text{,} \] potom, pre rozhranie izolačnej vrstvy a vonkajsieho vzduchu musí platiť \[ {P'}_2 = \beta S \left({T'}_\text{pocit} - T_{\text{okolie}}\right)\text{,} \] kde \({T'}_\text{pocit}\) je teplota, ktorú by musel mať vonkajší vzduch, a teda teplota na ktorú sa pýta zadanie. Pozor, vo vzorci nezabudneme vymeniť poradie teplôt, keďže očakávame, že \({T'}_{\text{pocit}}< T_{\text{okolie}}\).

Teraz sme získali dve rovnice (prvú, keď nefúka a druhú ,keď fúka)

Koeficienty \(\alpha\) a \(\beta\) síce nepoznáme, ale vieme sa ich jednoducho zbaviť tak, že rovnice medzi sebou predelíme a následne z nich vyjadríme \({T'}_{\text{pocit}}\).

\[ {T'}_{\text{pocit}} = T_{\text{okolie}} - \frac{\left(T_{\text{telo}} - T_{\text{okolie}}\right)}{\left(T_{\text{telo}} - T_{\text{pocit}}\right)} \left(T_{\text{pocit}} - T_{\text{okolie}}\right) \approx \SI{-18}{\celsius}\,\text{.} \]