Zadanie

Dušan a Kvík si pred tým, ako sa pustia do riešenia problémov hodných ich kalibru1, dávajú každé ráno malú rozvičku, aby po zvyšok dňa počítali ako draci. Aby si to okorenili, vzájomne sa vyzývajú na súboje v rátaní tých najodpornejších príkladov2.

Kvík pri svojich potulkách vesmírom narazil na nasledujúci príklad o obrovskom telese, s rovnomerne rozloženým nábojom vo svojom vnútri, tvaru kvádra so štvorcovou podstavou s hranou \(a\) a veľmi malou výškou. „Ha! Toto určite nezrátaš, Dušan!“ vykríkol, a rovno diktoval zadanie Dušanovi:

„Nad rohom štvorcovej podstavy vo výške \(a\) vytvára teleso elektrické pole s intenzitou \(E\), jeho smer je však od zvislého odchýlený o uhol \(\alpha\). Akú hodnotu elektrickej intenzity môžeme očakávať nad stredom štvorcovej podstavy vo výške \(a/2\)?“

„Ale prosím ťa, to je úplná hračka! To dávajú už dnes aj decká na Náboji…“ a spýtal sa Kvíka ešte nasledujúcu otázku:

„Predstav si, že teleso zväčším v každom smere dvojnásobne. Akú veľkú elektrickú intenzitu nameriam potom nad stredom štvorcovej podstavy vo výške \(a\)?“

Hádam nie ste horší ako Kvík a Dušan… vyriešte obe úlohy!

Na vyriešenie tejto úlohy bolo potrebné využiť dve veci. Princíp superpozície a škálovanie. Vysvetlíme si postupne obe, a to na konkrétnych úlohách.1

Začnime tou druhou zo zadania, kde nás zaujíma aká je veľkosť intenzity elektrického poľa nad stredom homogénne nabitej štvorcovej dosky s hranou \(2a\) vo výške \(a\). Tu využijeme princíp superpozície2. Ten hovorí asi nasledovné: „Ak máme systémy, ktorých fyzikálne vlastnosti poznáme, a máme aj nejaký iný neznámy systém, ktorý vieme vyskadať pomocou tých známych, tak aj jeho fyzikálne vlastnosti vyskladáme rovnako.“ Na prvé počutie to je ťažko pochopiteľné, no ukážeme si to na našej úlohe. To, čo nás zaujíma, je vlastne výsledná intenzita elektrického poľa nad rohmi nie jednej, ale štyroch dosiek. Intenzitu nad jedným rohom poznáme, tá má veľkosť \(E\) a od kolmice na platňu je odchýlená o uhol \(\alpha\). No a keďže sú teraz platne štyri, tak výsledná intenzita nad stredom dvojnásobne veľkej dosky bude iba vektorovým súčtom štyroch rovnako veľkých intenzít. Zložky rovnobežné s rovinou dosky sa pobijú a tie kolmé budú mať v súčte hodnotu \(E_1 = 4E \cos{\alpha}\).

skúmaná doska
skúmaná doska

A teraz tá prvá úloha. V nej nás zaujíma elektrická intenzita v polovičnej výške, čiže \(a/2\), no aj rozmery platne sú polovičné, čiže je to ten istý problém ako pred chvíľou, len je zmenšený.3 Teraz príde na rad škálovanie4. To hovorí o tom, že ak vezmeme dva podobné systémy, tak aj ich fyzikálne vlastnosti budú podobné s takým koeficientom, aký dostaneme zo zákona, ktorý popisuje daný systém. Opäť to najlepšie ukážeme na našom konkrétnom príklade. Snáď už všetci vieme, že veľkosť elektrického poľa popisuje Coulombov zákon. Bežne ho poznáte v tvare pre bodový náboj: \[ E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \text{.} \]

My však máme platňu, ktorá predstavuje veľa takýchto nábojov umiestnených vedľa seba, takže intenzita elektrického poľa bude daná súčtom veľa príspevkov typu \(\frac{Q}{r^2}\), kde \(r\) je vzdialenosť náboja na platni od miesta, kde meriame intenzitu elektrického poľa. Keďže náboj na platni je rovnomerne rozmiestnený, znamená to, že jeho plošná hustota \(\sigma\) je konštantná. Ak si predstavíme platňu rozsekanú na veľa maličkých štvorčekov dĺžky \(\Delta x\), tak každý takýto štvorček nesie náboj \(Q_i = \sigma (\Delta x)^2\) a celková intenzita elektrického poľa je daná výrazom typu \[ E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i}\frac{Q_i}{r_i^2} = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i} \frac{(\Delta x)^2}{r_i^2}\text{.} \]

Teraz sa už iba zamyslime. Vieme, že rozmer platne je \(a\), čiže polovičný oproti tomu predchádzajúcemu. Teda celkový náboj na platni klesne na štvrtinu a strana každého štvorčeka \(\Delta x\) sa zmenší o polovicu. Rovnako aj vzdialenosť každého štvorčeka od bodu kde meriame intenzitu klesne na polovicu, takže pomer \(\frac{(\Delta x)^2}{r^2}\) sa pod \(\sum\) nezmení. Keďže sa nezmení ani jeden takýto príspevok, tak sa nezmení ani ich súčet. Z toho by už malo byť všetkým jasné, že tu musí vyjsť rovnaký výsledok ako predtým, čiže \(E_2 = E_1 = 4E \cos{\alpha}\).


  1. Mohli ste si to aj poriadne porátať, no neboli by to najkrajšie integrály… ;-)

  2. Princíp superpozície je založený na linearite. V tomto prípade na linearite intenzity elektrického poľa v takom zmysle, že intenzita elektrického pola v určitom mieste je daná súčtom intenzít elektrických polí generovanými jednotlivými malými nábojmi. Pozor! Princíp superpozície nemožno použiť ak opisovaná veličina nie je v takomto zmysle lineárna.

  3. Keďže predpokladáme, že platňa je veľmi tenká, je to prakticky dvojrozmerné teleso, a teda platňa polovičných rozmerov je naozaj tá, na ktorú sa pýtame v prvej otázke.

  4. Pozor, škálovanie možno použiť, iba vtedy ak sa parametre systému vyskytujú v podobe nejakých mocnín. Ak by vystupovali napríklad ako argument kosínusu, tak ho použiť nevieme. Matematicky zapísané je škálovanie založené na myšlienke, že pre isté vhodné funkcie platí \(f(\alpha x) = \alpha^n f(x)\).

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.