Zadanie

Jimimu sa dostala po roku pod ruku ďalšia fakt kúl sústava. Tá pozostáva z naklonenej roviny so sklonom \(\alpha\) a kvádra hmotnosti \(m\). Nuda? No veď počkajte! Naklonená rovina má špeciálne zvolený koeficient šmykového trenia \(f = \tan(\alpha)\). Jimi si pre nás všetkých pripravil špeciálny trik. Kvádru udelí rýchlosť \(v\) v smere vrstevnice (t. j. v smere kolmom na smer najrýchlejšieho poklesu výšky na naklonenej rovine). Aký bude smer a veľkosť rýchlosti kvádra po dostatočne dlhom čase?

Najprv si skúsme uvedomiť, aké sily na kváder pôsobia. Budú to tiažová sila \(F_g\), normálová sila od podložky \(F_n\) a trecia sila \(F_t\). Tiažovú silu môžeme rozdeliť na dve zložky – kolmú na naklonenú rovinu (jej účinok je vyrovnaný s účinkom normálovej sily \(F_n\)) a rovnobežnú s rovinou (v smere najväčšieho poklesu), označíme ju \(F_r\). Rozložením síl zistíme, že kolmá zložka má veľkosť \(F_n = m g \cos{\alpha}\) a rovnobežná má veľkosť \(F_r = m g \sin{\alpha}\).

Pre treciu silu platí, že jej veľkosť je \(F_t = f F_n\),1 čo v našom prípade znamená, že \(F_t = m g \cos{\alpha} \tan{\alpha} = m g \sin {\alpha}\). Jej smer je proti pohybu kvádra – t. j. proti smeru vektora aktuálnej rýchlosti. Tento výsledok je zaujímavý, lebo zisťujeme, že veľkosť sily \(F_t = F_r\).

Teraz už vieme, že na kváder pôsobia dve sily spôsobujúce dvojicu zrýchlení – jedného smerom nadol2 a jedného proti smeru jeho pohybu. Ako teda spolu pôsobia na sústavu? Pozrime, čo sa udeje za krátky čas \(\Delta t\). Zaň stihne trecia sila zmenšiť celkovú rýchlosť \(v_c\) kvádra o \(\Delta v_c = \frac {F_t}{m} \Delta t\), zatiaľ čo pozdĺžna zložka tiažovej sily zväčší pozdĺžnu časť rýchlosti \(v_y\) o \(\Delta v_y = \frac {F_y}{m} \Delta t\). Tu si spomeňme, že \(\left|F_r\right| = \left|F_t\right|\). To ľudskou rečou znamená, že o koľko sa zmenší celková rýchlosť kvádra, o toľko sa zvýši pozdĺžna zložka tejto rýchlosti. Matematicky zapísané \(v_c + v_y = C\), kde \(C\) je konštanta.

V pohode? No nie tak rýchlo! Je tu totiž istá zrada, ktorá si zaslúži nasledujúce úvahy. Na chybu vo vzoráku nás upozornil Filip Čermák, za čo mu na tomto mieste veľmi pekne a úprimne ďakujeme.

Chyba v tejto úvahe je totiž v tom, že platí síce, že \(\left|F_r\right| = \left|F_t\right|\), ale už nie je pravda, že \(\Delta v_c = \frac {F_t}{m} \Delta t\) (Správne to má byť \(\Delta v_c = \frac {F_t-F_{rz}}{m} \Delta t\) kde \(F_{rz}\) je istá zložka sily \(F_t\)). Do zmeny celkovej rýchlosti totiž okrem samotnej trecej sily prispieva aj sila \(F_r\), ktorá vždy pôsobí tým istým smerom, ktorý nie je zhodný s \(F_t\). Môžte si rozmyslieť, že tvrdenie \(v_c + v_y = C\) platí v prvých fázach pohybu, ked je sila \(F_t\) kolmá na \(v\), no nie je vôbec jasné, že bude platiť vždy. Nerobme preto žiadne unáhlené závery a skúsme naozaj poctivo dokázať, že \(v_c + v_y = C\).

Pozrieme sa teraz, čo sa udeje s kvádrom za malý čas \(\Delta t\). Napíšme si teda pohybové rovnice pre pohyb kvádra. Celkovú rýchlosť kvádra môžeme rozložiť do spomínaných smerov na zložky \(v_x\) a \(v_y\). Keďže trecia sila \(F_t\) pôsobí proti smeru aktuálnej rýchlosti \(v_c\), tak má zložku v obidvoch smeroch. Veľkosť zložky trecej sily v danom smere je úmerná veľkosti zložky rýchlosti ku celkovej rýchlosti kvádra v danom smere (vyplýva to z jednoduchej geometrie - viď. obrázok).

Pohyb Jimiho kvádrika (Ktorý má zhodou okolností kruhovú podstavu :P) s príslušným rozkladom do zložiek rýchlostí a síl v našej sústave.
Pohyb Jimiho kvádrika (Ktorý má zhodou okolností kruhovú podstavu :P) s príslušným rozkladom do zložiek rýchlostí a síl v našej sústave.
Preto, zložky trecej sily v jednotlivých smeroch sú Napíšme si teraz pohybové rovnice pre pohyb kvádra v smere najstrmšieho poklesu výšky (\(y\)) a v kolmom smere naň (\(x\)).

Skúsme si teraz ešte vypočítať ako súvisí zmena celkovej rýchlosti \(\Delta v_c\) so zmenou jej zložiek v y-ovom (\(\Delta v_y\)) a x-ovom smere (\(\Delta v_x\)). Vieme, že platí \(v_c^2 = v_x^2 + v_y^2\). Ide teda o Pytagorovu vetu. Pre lepšiu predstavivovosť sa nám zíde nasledujúca geometrická interpretácia. Predstavme si pravouhlý trojuholník s preponou dĺžky \(c\) a odvesnami s dĺžkami \(a\) a \(b\).

Dve šikmé čiarky naozaj chcú značiť rovnobežnosť. Môžeme si to dovoliť, lebo pri malej zmene $\Delta c$ sa $\alpha$ zmení iba málo.
Dve šikmé čiarky naozaj chcú značiť rovnobežnosť. Môžeme si to dovoliť, lebo pri malej zmene \(\Delta c\) sa \(\alpha\) zmení iba málo.
Pre pravouhlý trojuholník platí Pytagorova veta \(c^2 = a^2 + b^2\). Ak zväčšíme jednu odvesnu o \(\Delta a\), tak sa odvesna zväčší (podobnosť trojuholníkov) o (približne) \[ \Delta c = \Delta a \cos(\alpha) = \frac{a}{c} \Delta a\text{,} \] Tí z Vás, ktorý majú radšej výpočty, tak k rovnakému výsledku sa dopracujeme, ak od \({\left(c+\Delta c\right)}^2\) odpočítame \(c^2\) a zanedbáme \({\left(\Delta c\right)}^2\) a \({\left(\Delta a\right)}^2\)3,

Obe úvahy môžeme rozšíriť aj na druhú odvesnu, a preto \[ \Delta v_c = \frac{v_x}{v_c}\Delta v_x + \frac{v_y}{v_c}\Delta v_y\text{.} \]

Skúsme teraz vypočítať, čomu je rovné \(\Delta v_c + \Delta v_y\). Ak nám víde, že je to nula, tak sme vyhrali, lebo potom musí platiť, že súčet \(v_y + v_c\) je konštantný.

keďže \(v_x\) a \(v_y\) sú iba zložky \(v_c\), a teda \(v_c^2 = v_x^2 + v_y^2\). Naozaj teda platí \(\Delta v_c + \Delta v_y = 0\), a to vo všetkých fázach pohybu! Preto sa súčet \(v_c + v_y\) zachováva. Teda matematicky zapísané (\(C\) je konštanta): \[ v_c + v_y = C\,\text{!} \]

Na začiatku pohybu je \(v_y = 0\) a \(v_c = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = v_x = v\), preto \(C = v\). Teraz potom, čo sme si už naozaj poctivo dokázali tvrdenie \(v_c + v_y = C\), sa pozrime sa na ustálený stav pohybu kvádra. Ten nastane vtedy, keď sa sily naň pôsobiace vyrovnajú. No, a to sa stane iba v prípade, keď sa kváder bude hýbať v smere najväčšieho poklesu (áno, bude to trvať nekonečne dlho). Vzťah pre rýchlosť \(v_c + v_y = v\) bude platiť aj vtedy. Teda platí \(v_c = v_y\), lebo \(v_c\) má iba zložku v smere najstrmšieho poklesu výšky na naklonenej rovine. Preto môžeme dosadiť \(v_y + v_y = 2 v_y = C = v\), a teda \(v_y\) v ustálenom stave je rovná \(v/2\).

Takto sme zistili, že po dlhom čase bude mať rýchlosť rovnaký smer, ako je smer najväčšieho poklesu a jej veľkosť bude \(\frac{v}{2}\). Ešte by ste sa mohli spýtať, či by kváder nemohol počas svojho pohybu zastať. Sila \(F_r\) však pôsobí neustále, a až keď nastane ustálený stav, jej smer sa vyrovná so silou \(F_t\), a preto v každom okamihu urýchľuje kvádrik v smere najstrmšieho poklesu výšky, čím mu bráni v tom, aby sa zastavil.

Poznámka pre simulantov v Exceli a podobné tvory

Mnoho z Vás sa numerickou simuláciou dopracovalo k správnemu výsledku. A zistili ste, že v takom prípade, nech je \(\alpha\) akékoľvek, výsledok to neovplyvní. V tomto okamihu by ste mali spozornieť, pretože sa tu deje niečo podozrivé. Navyše podozrivá je aj jedna polovica. Odteraz by Vám mala v hlave svietiť kontrolka, že ak je výsledok jednoduchý, je možné, že sa k výsledku dá dopracovať aj s použitím papiera a pera.

Poznámka pre drtičov, dostatočne skazených deriváciami, integrálmi či diferenciálnymi rovnicami

Niekedy je riešenie fyzikálneho problému naozaj jednoduché, no vyžaduje si to dostatočnú pozornosť na všetky detaily problému a dôsledné uvedomenie si toho, čo tieto fakty naozaj znamenajú.


  1. Pozor, vo všeobecnosti platí \(F_t \leq f F_n\), kde je \(f\) je koeficient statického (!) šmykového trenia. V našom prípade je však \(f\) nutne (vieme, že kvádrik sa už na začiatku pohybuje) koeficient dynamického trenia, a preto \(F_t = f F_n\). Na tento fakt pre istotu upozorňujeme, aby ste sa v budúcnosti nedopúšťali podobných chýb.

  2. v smere najstrmšieho poklesu výšky na naklonenej rovine

  3. Ak \(\Delta x/x \sim 10^{-3}\), tak \({(\Delta x/x)}^2 \sim 10^{-6}\), čiže o niekoľko rádov menšie.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.