2. Wir schaffen das! vzorové riešenie

Hádam každý vie, že najkratšia dráha spájajúca dva body je úsečka¹. Správny stratég Baklažchánovho vojska by to mal vedieť tiež. Je si však vedomý aj vytrvalých a pracovitých dedinčanov, ktorí im pôvodnú najkratšiu cestu – spojnicu dediny a pôvodnej polohy vojska – znemožnili.

Na najkratšiu cestu má však v tomto prípade vplyv aj čas.² Vojakom teraz nezostáva iná možnosť, než samotný múr obísť. Pri plánovaní svojej cesty si musia k trase pridať medzibod, ktorým by mal byť okraj múru práve v čase, keď sú k nemu schopní prísť. Ten sa pohybuje rýchlosťou \(\vec{u}\) na východ. Vojaci k nemu svojou rýchlosťou \(\vec{v}\) musia prísť za čo najkratší čas. Poďme sa s týmto problémom popasovať.

K bodu stretnutia vojakov s okrajom múru musia vojaci a dedinčania stavbári prísť v tom istom čase \(t_1\). Keď tento fakt spojíme s Pytagorovou vetou, dostaneme rovnicu \[ v^2 t_1^2 = u^2 t_1^2 + d^2\text{,} \]

z ktorej jednoducho dostaneme čas, za ktorý Baklažchánove vojsko dorazí k okraju múru \[ t_1 = \frac{d}{\sqrt{v^2 - u^2}}\text{.} \]

Teraz sa nachvíľu pozastavíme a všimneme si, že z výsledku vyplýva očakávaný fakt a to, že aby bol výsledok v obore reálnych čísel, musí platiť nerovnosť \(v>u\). Veď predsa na to, aby sa s murármi stretli, musí byť už vôbec iba zložka \(\vec{v}\) v smere na východ rovná \(\vec{u}\). V zadaní sa nás však pýtajú na najkratší celkový čas (tzn. až do dediny). Potrebujeme teda zistiť aj čas \(t_2\), za ktorý prejde vojsko úsek medzibod – dedina. Tu si uvedomíme, že dĺžku spoločnej hrany trojuholníkov, čiže dĺžku múru, už poznáme. Je to \(u t_1\). Opäť si spomenieme na Pythagorovu vetu a dostávame \[ v^2 t_2^2 = u^2 t_1^2 + d'^2\text{.} \]

Po dosadení \(t_1\) a pár drobných úpravách dostame hodnotu \(t_2\): \[ t_2 = \sqrt{\frac{u^2}{v^2}\cdot\frac{d^2-d'^2}{v^2-u^2} + \frac{d'^2}{v^2-u^2}}\text{.} \]

Celkový čas už dostaneme jednoducho iba súčtom \(t_1\) a \(t_2\): \[ t_{\mathrm{celk}} = \frac{d}{\sqrt{v^2 - u^2}} + \sqrt{\frac{u^2}{v^2}\cdot\frac{d^2-d'^2}{v^2-u^2} + \frac{d'^2}{v^2-u^2}}\text{.} \]

Komentár opravovateľky

Mnohí ste mali nutkanie vyjadriť dráhu aj pomocou uhla. Označme teda uhol, ktorý zviera kolmica k múru so smerom pohybu Baklažchánovho vojska \(\alpha\). Najjednoduchší spôsob, akým sa dá zistiť jeho hodnota, je použitie goniometrickej funkcie \(\sin{x}\) a k nej inverznej funkcie \(\arcsin{x}\). \[ \sin{\alpha} = \frac{ut_1}{vt_1} = \frac{u}{v}\text{,} \]

\[ \alpha = \arcsin{\frac{u}{v}}\text{.} \]

Toto samozrejme platí pri zrejmom predpoklade, ktorý je úlohou vyžadovaný, a to \(v>u\) a dáva to rozumné výsledky:

• ak \(v >> u\), potom uhol \(\alpha\) je malý,
• ak sa \(u\) blíži k hodnote \(v\), uhol je veľký.³

Podobným spôsobom, aj keď trochu komplikovanejšie, sa dal vyjadriť uhol, pod ktorým mali smerovať od múru k dedine.

Ďalším milým prekvapením pre mňa bola poznámka, že múr na západ nemusí byť nekonečne dlhý. Označme jeho pôvodnú dĺžku \(x\). Ak platí nerovnosť \(x < ut_1\), vojakom sa viac než na juhovýchod oplatí ísť na juhozápad, a celkový čas potom bude \[ t_{\mathrm{celk}} = \frac{\sqrt{d^2 + x^2} + \sqrt{d'^2 + x^2}}{v}\text{.} \]