Zadanie

V čínskej provincii Fei Kai Sen1 sa opäť schyľuje k veľkej veci. Armáda mongolských bojovníkov, vedená náčelníkom Baklažchánom, sa chystá napadnúť dedinu. Číňania však nepretržite stavajú múr zo západu na východ rýchlosťou \(u\). Baklažchánova armáda sa vie pohybovať rýchlosťou \(v\) a momentálne nachádza vo vzdialenosti \(d\) na sever od konca múru. Dedina leží vo vzdialenosti \(d'\) južne od toho istého konca múru.

Akú najrýchlejšiu cestu majú zvoliť mongolskí bojovníci, aby vykonali svoje zlé úmysly v dedine? Prečo je najrýchlejšia? Koľko im to potrvá?

Keďže v provincii Fei Kai Sen počas dynastie mladého úderníka Du Schana ešte nevedeli, že Zem je guľatá, pri riešení úlohy pokojne uvažujte plochú Zem.


  1. 30. ročník, 3. kolo letnej časti

Hádam každý vie, že najkratšia dráha spájajúca dva body je úsečka1. Správny stratég Baklažchánovho vojska by to mal vedieť tiež. Je si však vedomý aj vytrvalých a pracovitých dedinčanov, ktorí im pôvodnú najkratšiu cestu – spojnicu dediny a pôvodnej polohy vojska – znemožnili.

Na najkratšiu cestu má však v tomto prípade vplyv aj čas.2 Vojakom teraz nezostáva iná možnosť, než samotný múr obísť. Pri plánovaní svojej cesty si musia k trase pridať medzibod, ktorým by mal byť okraj múru práve v čase, keď sú k nemu schopní prísť. Ten sa pohybuje rýchlosťou \(\vec{u}\) na východ. Vojaci k nemu svojou rýchlosťou \(\vec{v}\) musia prísť za čo najkratší čas. Poďme sa s týmto problémom popasovať.

schéma riešeného problému
schéma riešeného problému

K bodu stretnutia vojakov s okrajom múru musia vojaci a dedinčania stavbári prísť v tom istom čase \(t_1\). Keď tento fakt spojíme s Pytagorovou vetou, dostaneme rovnicu \[ v^2 t_1^2 = u^2 t_1^2 + d^2\text{,} \]

z ktorej jednoducho dostaneme čas, za ktorý Baklažchánove vojsko dorazí k okraju múru \[ t_1 = \frac{d}{\sqrt{v^2 - u^2}}\text{.} \]

Teraz sa nachvíľu pozastavíme a všimneme si, že z výsledku vyplýva očakávaný fakt a to, že aby bol výsledok v obore reálnych čísel, musí platiť nerovnosť \(v>u\). Veď predsa na to, aby sa s murármi stretli, musí byť už vôbec iba zložka \(\vec{v}\) v smere na východ rovná \(\vec{u}\). V zadaní sa nás však pýtajú na najkratší celkový čas (tzn. až do dediny). Potrebujeme teda zistiť aj čas \(t_2\), za ktorý prejde vojsko úsek medzibod – dedina. Tu si uvedomíme, že dĺžku spoločnej hrany trojuholníkov, čiže dĺžku múru, už poznáme. Je to \(u t_1\). Opäť si spomenieme na Pythagorovu vetu a dostávame \[ v^2 t_2^2 = u^2 t_1^2 + d'^2\text{.} \]

Po dosadení \(t_1\) a pár drobných úpravách dostame hodnotu \(t_2\): \[ t_2 = \sqrt{\frac{u^2}{v^2}\cdot\frac{d^2-d'^2}{v^2-u^2} + \frac{d'^2}{v^2-u^2}}\text{.} \]

Celkový čas už dostaneme jednoducho iba súčtom \(t_1\) a \(t_2\): \[ t_{\mathrm{celk}} = \frac{d}{\sqrt{v^2 - u^2}} + \sqrt{\frac{u^2}{v^2}\cdot\frac{d^2-d'^2}{v^2-u^2} + \frac{d'^2}{v^2-u^2}}\text{.} \]

Komentár opravovateľky

Mnohí ste mali nutkanie vyjadriť dráhu aj pomocou uhla. Označme teda uhol, ktorý zviera kolmica k múru so smerom pohybu Baklažchánovho vojska \(\alpha\). Najjednoduchší spôsob, akým sa dá zistiť jeho hodnota, je použitie goniometrickej funkcie \(\sin{x}\) a k nej inverznej funkcie \(\arcsin{x}\). \[ \sin{\alpha} = \frac{ut_1}{vt_1} = \frac{u}{v}\text{,} \]

\[ \alpha = \arcsin{\frac{u}{v}}\text{.} \]

Toto samozrejme platí pri zrejmom predpoklade, ktorý je úlohou vyžadovaný, a to \(v>u\) a dáva to rozumné výsledky:

  • ak \(v >> u\), potom uhol \(\alpha\) je malý,
  • ak sa \(u\) blíži k hodnote \(v\), uhol je veľký.3

Podobným spôsobom, aj keď trochu komplikovanejšie, sa dal vyjadriť uhol, pod ktorým mali smerovať od múru k dedine.

Ďalším milým prekvapením pre mňa bola poznámka, že múr na západ nemusí byť nekonečne dlhý. Označme jeho pôvodnú dĺžku \(x\). Ak platí nerovnosť \(x < ut_1\), vojakom sa viac než na juhovýchod oplatí ísť na juhozápad, a celkový čas potom bude \[ t_{\mathrm{celk}} = \frac{\sqrt{d^2 + x^2} + \sqrt{d'^2 + x^2}}{v}\text{.} \]


  1. Ak tomu neveríte, kľudne si nakreslite úsečku a dráhu, o ktorej si myslíte, že je kratšia a odmerajte napríklad špagátovou metódou.

  2. Najkratšia cesta je tá, ktorú armáda prejde za najkratší čas.

  3. Ďakujem Jakubovi Hluškovi za veľmi peknú formuláciu tohoto rozboru :).

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.