6. Ďalekonosná vypekačka vzorové riešenie

Priemerný človek je schopný počuť zvuk s intenzitou väčšou ako prahová intezita \(I_{0}=\SI{1e-12}{\watt\per\metre\squared}\). Keďže šírenie je izotropné, pre intenzitu v určitej vzdialenosti \(r\) od zdroja s výkonom \(P\) platí:

\[I \cdot 4\pi r^2=P\] \[r_{max}=\sqrt{\frac{P}{4\pi I_{0}}}\]

Po dosadení \(P=\SI{1500}{\watt}\) dostaneme, že rádový odhad \(r_0\approx \SI{1.1e7}{\metre}\). Príklad je zrátaný a môžeme spokojne submitnúť.

No, to teda určite nie. V šiestom príklade nemôže byť taká jednoduchá vec. Na čo sme zabudli? Keďže vzdialenosť medzi reproduktormi je porovnateľná s vlnovou dĺžkou zvuku, musíme pri počítaní rátať aj s interferenciou.

Uvažujme, že membrána reproduktora vykonáva harmonické kmity šíriace sa do priestoru bez strát. Zvuk je pozdĺžne vlnenie, ktoré je prenášané zhusťovaním a zrieďovaním vzduchu. Vlnu môžeme reprezentovať funkciou \(\chi(\vec{r},t) = A \cos{(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}\), kde \(k=\frac{2\pi}{\lambda }\) je vlnové číslo, reprezentujúce koľko vlnových dĺžok sa zmestí do \(2\pi\) a smer vektora \(\vec{k}\) je v smere šírenia vlny¹, a \(\omega=2\pi f\) je uhlová frekvencia vlny. Keď sa poslucháč nachádza v dostatočnej vzdialenosti od reproduktorov, zvuk od vzdialenejšieho reproduktora prejde vzdialenosť väčšiu o \(\Delta = d \sin{\phi}\), kde \(\phi\) je uhol od kolmice, pod ktorým sa šíri zvuková vlna od reproduktoru ku poslucháčovi. Pre zvukovú vlnu v mieste, kde sa poslucháč nachádza, platí:

\[\chi_1(\vec{r},t) = A \cos{\left(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}\right)}\] \[\chi_2(\vec{r},t) = A \cos{\left(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}-kd \sin{\phi}\right)}\] \[\chi(r,t) = \chi_1(\vec{r},t) + \chi_2(\vec{r},t) = 2A \cos{\frac{kd \sin{\phi}}{2}} \cos{\left(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}-\frac{kd \sin{\phi}}{2}\right)}\]

Všimnime si, že keby sme zanedbali interferenciu, tak by sme vo funkcii nemali člen \(\cos{\frac{kd \sin{\phi}}{2}}\). Čo tento člen spôsobuje? Obmedzuje hodnotu amplitúdy v niektorých smeroch šírenia \(\phi\). Napríklad vieme určiť smery, v ktorých je intenzita nulová:

\[\cos{\frac{kd \sin{\phi}}{2}} = 0\] \[\frac{kd \sin{\phi}}{2}=\frac{\pi}{2}+n\pi \qquad n=0, 1, 2, \dots\] \[\sin{\phi} = \frac{(1+2n)c}{2df}\]

kde \(c\) je rýchlosť vzduchu². Pre frekvenciu \(f=\SI{100}{\hertz}\) sú „tiché uhly“ \(\num{2.38}\)°, \(\num{7.17}\)°, \(\num{12.01}\)°… V týchto smeroch poslucháči nebudú Mekyho počuť. V blízkom okolí „tichých uhlov“ bude amplitúda výrazne nižšia, a teda hraničná vzdialenosť \(r_{\mathrm{max}}\) je kratšia.

Na jej určenie je potrebné vedieť, ako závisí intenzita zvuku od amplitúdy \(\chi\)-funkcie. Závislosť určuje vzťah³, \(I=\frac{1}{2}\sqrt{\kappa p_0 \rho_{0}}\omega^2 A^2\), kde \(p_0, \rho_0 \) je pokojový tlak, resp. hustota vzduchu a \(\kappa\) je Poissonova konštanta.

Vieme, že \(I\propto \frac{1}{4\pi r^2}\), a teda \(A\propto \frac{1}{2\sqrt{\pi}r}\). Počiatočná hodnota \(A\mid_{r=0}=A_0\) sa zistí zo vzťahu pre výkon. Vzťah uvádzame bez odvodenia, ktorého zložitosť by mohla byť pre čitateľa odpudzujúca⁴:

\[P=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\kappa p_0}{\rho_0}}A_0^2\omega ^2\]

Z čoho dostávame:

\[A_0=\sqrt{\frac{2P}{\omega^2}\sqrt{\frac{\rho_0}{\kappa p_0}}}\]

Konečne môžeme vyjadriť intenzitu zvuku ako funkciu vzdialenosti:

\[I=\frac{1}{2}\sqrt{\kappa p_0 \rho_0 }\omega^2 \left(\frac{2A_0}{2\sqrt{\pi}r}\cos{\frac{kd \sin{\phi}}{2}}\right)^2\] \[r_{max}(\phi)=\sqrt{\frac{P\rho_0}{\pi I_0}}\cos{\frac{kd \sin{\phi}}{2}}\]

Prečo je hranica počuteľnosti v niektorých smeroch rádovo \(\SI{10000}{\kilo\metre}\)? V prvom rade sme ignorovali straty pri prenose zvuku vo vzduchu. V druhom rade je potrebné si vedomiť, že „bežné“ ticho má hladinu intezity cca \(\SI{15}{\deci\bel}\)⁵, čo zníži skutočnú hranicu o 1 až 2 rády. Takisto musíme podotknúť, že Mekyho vypaľovačky nie sú monochromatické, teda frekvencia zvuku sa v čase mení a maximá a minimá \(r_{max}(\phi)\) sa posúvajú.

Pravdaže, na získanie plného počtu bodov stačilo vhodne vysvetliť, prečo intenzita zvuku klesá \(\propto \frac{1}{r^2}\) a dostatočne kvantitatívne načrtnúť, ako by bola do výpočtu vložená interferencia.