5. Obitá orbita vzorové riešenie

1.2 Okrajové prípady

Počiatočná rýchlosť hviezdy je nastavená na nulu. Prečo sa po spustení pohne? Je to chyba simulácie, alebo sa skutočne má pohnúť týmto smerom?

Skutočne sa má pohnúť. Keďže na telesá nepôsobia vonkajšie sily, celková hybnosť sa musí zachovávať. Na začiatku sa planétky sa hýbu smerom doprava a hviezda stojí, takže celková hybnosť musí tiež smerovať doprava. Keď zelená planétka odletí doľava, jej hybnosť bude taktiež smerovať doľava, a hviezda to musí kompenzovať tým, že sa začne hýbať doprava. Modrú planétku nemusíme uvažovať, lebo jej dlhodobá priemerná hybnosť voči hviezde je nulová.

2.1 Prvý Keplerov zákon

Meňte rýchlosť ružovej planéty. V akých intervaloch rýchlostí (aspoň približne) nastávajú jednotlivé prípady?

Skúšaním ľahko zistíme, že orbita je kruhová pri rýchlosti \(2\). Únikovú rýchlosť, teda najmenšiu takú, pre ktorú sa už planétka nevráti, si môžeme priamo vypočítať, alebo ju nájsť skúšaním (to bude trvať dosť dlho). Vyjde niečo zhruba ako \(\num{2.83}\), v čom by skúsené oko malo rozoznať približnú hodnotu \(\sqrt{8}\). Naozaj – keďže súčet kinetickej a potenciálnej energie sa nemení, planétka potrebuje toľko kinetickej energie, aby vyrovnala stratu potenciálnej oproti nekonečnu.

Potenciálnu energiu poznáme (alebo si niekde nájdeme) \(E_{p} = \frac{-GmM}{r}\), kinetická je \(\frac{mv^2}{2}\) a hľadáme také \(v\), aby ich súčet bol nulový: \[\frac{-GmM}{r} + \frac{mv_{\mathrm{úniková}}^2}{2} \overset{!}{=} 0 \quad\Rightarrow\quad v_{\mathrm{úniková}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}\]

Na kruhovej dráhe zas vieme spočítať veľkosť pôsobiacej sily, musí platiť \(\frac{mv^2}{r} = \frac{GmM}{r^2}\), odkiaľ \(v_{\mathrm{kruhová}} = \sqrt{\frac{GM}{r}}\). Ich podiel je práve \(\sqrt{2}\), takže kritická rýchlosť musí byť \(2 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8}\).

Navyše si všimneme, že ak je rýchlosť menšia ako \(2\), bude planétka začínať v najbližšom bode, inak v najvzdialenejšom. Teda jej dráha je:

• eliptická s perihéliom (najbližším bodom k hviezde) v začiatku pre rýchlosti menšie ako \(2\),
• kruhová pre rýchlosť \(2\),
• eliptická s aféliom (najvzdialenejším bodom) v začiatku pre rýchlosti medzi \(2\) a \(\sqrt{8}\),
• parabolická pre rýchlosť \(\sqrt{8}\),
• hyperbolická pre všetky väčšie rýchlosti.

2.2 Druhý Keplerov zákon

Nastavte hmotnosť slnka tak, aby sa dráha zmenila na kruhovú. Je to menej, alebo viac, ako to bolo? Prečo?

Hmotnosť musí byť \(5\). Je to samozrejme menej – no a je to preto, že chceme, aby pôsobiaca sila bola menšia, ako na začiatku. Pri hmotnosti 40 je pôsobiaca sila väčšia, než akú treba na udržanie na kruhovej orbite, takže ju pritiahne bližšie. Naopak pri primalej hmotnosti je sila príliš malá a nestíha zmeniť pohybový stav planéty natoľko, aby letela po kružnici. Rovnováha nastáva pri hmotnosti \(5\).

2.3 Tretí Keplerov zákon

Koľkokrát dlhšiu hlavnú os má červená planéta oproti modrej?

Jednoducho zrátame počty obehov a všimneme si, že kým červená planéta obehne raz, modrá to stihne spraviť sedemkrát. Potrebnú rovnicu \[\left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)^3 = \left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^2\text{,}\] máme napísanú v zadaní, takže si z nej iba vyjadríme \[\frac{A_{1}}{A_{2}} = 7^{2/3}\text{,}\] čo je približne \(\num{3.66}\).

3.1 Dvojrozmerný vesmír

Nastavte planéte potrebnú rýchlosť a teoreticky zdôvodnite (stačí pár slovami).

Znovu potrebujeme nastaviť rýchlosť tak, aby dostredivá sila bola vždy kolmá na rýchlosť planéty. Teda chceme nájsť také v, aby \(\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r}\) (pozor na to, že v Newtonovom vzorci pre gravitačnú silu tu \(r\) vystupuje iba v prvej mocnine). Simulácia je bezrozmerná, teda \(G = 1\), a \(m\) a \(r\) sa nám vykrátia. Ostane teda \(v^2 = M\), takže veľkosť rýchlosti je \(\sqrt{12}\). Ešte si musíme dať pozor na to, že riešenia sú dve a majú opačné znamienka. Smer kolmý na spojnicu planéty s hviezdou poznáme, takže \(v_{x} = \pm\sqrt{12}\) a \(v_{y} = 0\).

3.2 Konštantná sila

Je tu možné utiecť do nekonečna? Prečo?

Nie je – nech je počiatočná rýchlosť akákoľvek, konštantná sila bude mať vždy dosť času na to, aby planétku stiahla naspäť k stredu. Alebo inými slovami, potenciálová jama je nekonečne hlboká a žiadne množstvo energie nestačí na to, aby sme z nej vyšli von. Iba ak tam dáme také veľké číslo, že simuláciu pokazíme ;-)

3.3 Štvorrozmerný vesmír

Nájdite tu nejakú nekruhovú stabilnú orbitu (aby planéta neušla do nekonečna a nespadla na hviezdu).

Nedá sa to. Kruhová orbita síce existuje, ale nie je stabilná. Ľubovoľne malá chyba ju časom nenávratne rozbije. Ak je rýchlosť trochu menšia, planéta neodvratne spadne na hviezdu, ak je väčšia, sila klesá príliš rýchlo a planéta nám uletí. Štvorrozmerný vesmír by teda najskôr bol veľmi nudný.

Napriek tomu v simulácii to kvôli numerickým chybám vo výpočte šlo – ak je dráha skoro kruhová, teda planéta padá veľmi pomaly, tesne pred kontaktom s hviezdou sa jej rýchlosť zväčší viac, ako by sa mala, čo ju znovu vynesie ďalej. Tam je ale výpočet presnejší, takže znovu začne padať a celé sa to periodicky opakuje. Napríklad pri \(x = \num{7}\), \(y = \num{0}\), \(v_{x} = \num{-0.02}\), \(v_{y} = \num{0.638}\).

4.1 Mesiace

Zistite, v akých rozpätiach rýchlosti v smere osi \(y\) ostane Mäsiac na orbite okolo planéty aspoň tri sedlácke roky.

Úplne najdôležitejšie je hneď si uvedomiť, že Mäsiac môže okolo svojej planéty obiehať v dvoch rôznych smeroch. Rozpätia teda môžu byť dve a mali by mať zhruba rovnako veľkú rýchlosť voči planéte. Simulácia však počiatočnú rýchlosť udáva v sústave spojenej s hviezdou, takže to až také očividné nebude. Znovu nechceme úplne presné riešenie, stačí nájsť interval s nejakou rozumnou presnosťou (napríklad \(\num{0.01}\)).

Najrýchlejší spôsob, ako prísť k výsledkom, je vyhľadávať binárne – teda nájsť ľubovoľnú „dobrú“ orbitu, ľubovoľnú „zlú“ a potom skúsiť aritmetický priemer im zodpovedajúcich rýchlostí. Podľa toho, či je nová orbita dobrá alebo nie, znovu rozpolíme jeden z nových intervalov. Opakovaním tejto schémy nájdeme pomerne presné riešenie na zopár pokusov.

Nastavená rýchlosť \(\num{0.2}\) je zjavne príliš veľká a Mäsiac svojej planéte ujde. Ak ju postupne zvyšujeme, pri rýchlostiach okolo \(\num{0.4}\) až \(\num{0.5}\) to začne vyzerať nádejne. Napríklad pre \(\num{0.43}\) ho pritiahne hviezda, pre \(\num{0.45}\) uletí do nekonečna a pre \(\num{0.47}\) zas narazí do Sedláka. Prvú stabilnú orbitu nájdeme niekde okolo rýchlosti \(\num{0.55}\). Naopak najvyššia možná rýchlosť (teda najnižšia voči planéte) je \(\num{0.74}\). Druhou možnosťou je nechať Mäsiac obiehať okolo planéty v opačnom smere. Rovnakým postupom získame hodnoty \(\num{2.08}\) až \(\num{2.32}\).

4.2 Lagrangove body

Skúste nastaviť zelenému mesiacu takú rýchlosť, aby aspoň rok vydržal na zhruba kruhovej orbite.

Znovu binárne vyhľadávame, vyjde niečo ako \(\num{1.610955}\). Určite ste si všimli, že aj veľmi malá zmena rýchlosti časom povedie k veľkým zmenám v dráhe. Ak by sme si vizualizovali efektívny potenciál planétky, situácia sa podobá balansovaniu guličky na veľkej guli. Teoreticky je možné mesiac malou silou udržiavať na vrchole, ak ho však necháme vzdialiť sa, planéta alebo hviezda ho ľahko pritiahnu. Hádam vám došlo, že cieľom podúlohy nebolo ani tak nájsť vhodnú rýchlosť, ako ukázať, čo sa deje, keď sa do nej tesne netrafíme. Námet na zamyslenie: skúste si predstaviť, ako by to vyzeralo pri pohľade z nerotujúcej planétky.

Bonus: Ak sa chcete hrať, skúste nájsť bod \(L_{3}\).

Toto bolo trochu ťažšie. Bolo si treba uvedomiť, že v bode \(L_3\) musí byť uhol zeleného mesiačika (teda teraz už planétky) voči červenej planéte konštantný. Vzdialenosť sa meniť môže, lebo dráha nie je kruhová. Veľa orbít vyzerá veľmi podobne, túto podmienku však nespĺňajú. Navyše musíme meniť až dva parametre, čo je omnoho náročnejšie ako jeden.

Hneď však vieme povedať, že počiatočná vzdialenosť musí byť o máličko väčšia, než akú dosiahne červená planéta na ľavej strane. Rýchlosť potom donastavujeme, až kým sa orbita nepodobá orbite červenej planéty. Hľadané hodnoty budú niekde v okolí \(y = \num{-7.65}\) a \(v_{y} = \num{-1.173}\).

4.3 Dvojhviezda

Skúste planétku udržať čo najdlhšie na dráhe, pričom vám nesmie uletieť do nekonečna. Koľko časových jednotiek sa vám podarilo? Napíšte aj konfiguráciu.

Tu sa dalo vymyslieť kadečo, buď skúšať rôzne chaotické dráhy a zapisovať si časy, alebo sa trochu zamyslieť, vymyslieť princíp a potom už len overiť, či naozaj funguje. Takým riešením je položiť planétku niekam ďaleko a nechať ju obiehať po zhruba kruhovej dráhe. Vo veľkej vzdialenosti už gravitačné pole dvojhviezdy vyzerá skoro rovnako, ako pole jednej hviezdy s dvojnásobnou hmotnosťou, takže dráha bude stabilná, a aj obežná doba bude veľmi dlhá.

Druhou dobrou možnosťou je umiestniť planétku na nízku obežnú dráhu okolo jednej hviezdy, napríklad \(x = \num{4.2}\), \(y = 0\), \(v_{x} = 0\), \(v_{y} = \num{1.4}\).

4.4 Činka

Nájdite nejakú peknú uzavretú orbitu v tvare osmičky. Môžete meniť polohu aj rýchlosť planétky.

Pôvodne sme chceli, aby ste si uvedomili, že pekná osmička bude určite prechádzať stredom, teda bodom \([0; 0]\). Planétku si teda umiestnime na tieto súradnice a meníme jej rýchlosť. Napríklad rýchlosť \((1, \num{0.98})\) vedie na uzavretú dráhu. Orbity, ktoré nie sú stredovo súmerné, budú pomaly oscilovať (tieto obrázky sú fakt pekné). Ak to však bolo dostatočne pomaly a planéta sa po obehu aspoň zhruba „trafila“ do svojej pôvodnej orbity, uznali sme aj to.

4.5 Gravitačný prak

S akou najmenšou rýchlosťou pritom viete vyštartovať?

Tu proste treba skúšať a hrať sa (varovali sme vás, že riešiť túto úlohu päť minút pred deadlinom nie je dobrý nápad). Dôležité je uvedomiť si, že potrebujeme mieriť za Yüpiter, aby nás potiahol dopredu v smere pohybu. Dobré riešenie je napríklad \(v_{x} = \num{0.783}\), \(v_{y} = \num{2.504}\). Veľkosť \(v\) je potom asi \(\num{2.624}\). Drobnými zmenami sa dá ešte o niečo máličko menej. A ak máte fakt veľa času¹, existuje aj úplne iné riešenie, je však značne náhodné a družica sa bude dosť dlho nudiť niekde v hĺbkach vesmíru: \(v_{x} = 0\), \(v_{y} = \num{2.54}\).

Prečo je to dôležité? Množstvo paliva, ktoré raketa spotrebuje, rastie exponenciálne s rýchlosťou, ktorú chceme družici udeliť – preto sa takmer vždy snažíme túto rýchlosť čo najviac zmenšiť, aj napríklad za cenu, že poletíme omnoho dlhšie. Okrem toho v skutočnosti štartujeme zo Zeme, takže nás zaujíma rýchlosť voči nej. Planéta má rýchlosť \(\num{1.4}\), takže výsledná rýchlosť je iba \(\num{2.54} - \num{1.4} = \num{1.14}\). A to sa už oplatí :-)

Pri skutočných letoch sa gravitačné praky používajú často aj viackrát. Napríklad takto vyzerala trajektória sondy Rosetta, ktorá trikrát využila Zem a raz Mars: http://techgenmag.com/wp-content/uploads/2014/01/rosetta-mission.jpg

Bodovanie

Za každú zjavne nesprávnu alebo chýbajúcu odpoveď sme strhávali jeden bod; za chýbajúcu podstatnú časť odpovede pol boda. Za drobné nepresnosti alebo veľmi pekné vysvetlenia sme hodnotenie priamo neupravovali, ale mohli zavážiť pri zaokrúhľovaní. A ak bolo napísané aspoň niečo rozumné, jeden bod sa vždy našiel.