2. Žraločia hojdačka vzorové riešenie

Ujasnime si najskôr, akú situáciu ideme analyzovať. Jediné, čo vieme, je, že dieťa nejakým spôsobom visí na hrane stola za svoj chrup. Predpokladajme, že sa nachádza presne vo vertikálnej polohe. To znamená, že ťažisko dieťaťa neleží priamo na tej istej zvislici ako bod, za ktorý dieťa visí. Týmto bodom je hrana stola, ako o chvíľu uvidíme. To má ale jeden závažný dôsledok, a to, že tiažová sila má nenulový moment, a teda spôsobí, že dieťa sa vychýli zo zvislej polohy. To samozrejme aj očakávame, keďže vieme, že každé teleso sa snaží nadobudnúť minimálnu energiu, čo v tomto prípade znamená, že ťažisko musí byť najnižšie, ako to je len možné, čo zodpovedá tomu, že ťažisko je priamo pod osou otáčania, t.j. hranou stola.¹ Lenže takáto poloha je pre dieťa stabilnou, čo znamená, že ak ho o málo z tejto polohy vychýlime, tak sa do nej vráti. To v konečnom dôsledku vidíme aj z daného videa, kde dieťa prekmitáva okolo tejto rovnovážnej polohy. Ak teda pripustíme, že dieťa môže visieť tak, že jeho ťažisko leží priamo pod hranou, tak nemusí vynakladať žiadnu námahu, aby sa udržalo na stole.² Jednoducho stôl bude pôsobiť na dieťa³ silou, ktorá akurát vykompenzuje tiažovú silu, a keďže obe ležia na jednej vektorovej priamke, tak ich výsledný moment je nulový. Problém ale nastáva, ak ťažisko nie je priamo pod hranou stola a chceme, aby dieťa v tejto polohe zotrvalo. V našich úvahách budeme požadovať, aby dieťa zotrvalo vo zvislej polohe.

Uvažujme najskôr, že dieťa nevyvíja svojím chrupom žiadnu silu, t.j. na stole voľne visí zavesené o hornú čeľusť, a nejaká fiktívna horizontálna sila mu bráni v otáčaní sa. Čo vieme povedať v takom prípade? Je zjavné, že dieťa sa nebude hýbať, teda výslednica síl musí byť nulová. Ak označíme vertikálnu zložku sily od stola pôsobiacej na dieťa \(N\), tak podmienku rovnosti vertikálnych zložiek síl napíšeme v tvare \[N=F_{G}\] kde \(F_{G}=mg\) je tiažová sila pôsobiaca na dieťa.

Teraz uvažujme, že dieťa sa zahryzne do stola silou \(F\). Predpokladajme, že táto sila je akurát taká, že po odstránení fiktívnej horizontálnej sily sa nebude otáčať. Samozrejme, stôl stále pôsobí na dieťa silou \(N\), no okrem toho pôsobí na hornú i dolnú čeľusť silami veľkostí \(F\) opačného smeru.⁴ Stále platí, že výslednica síl je nulová. Ale čo ich momenty? Teraz už sily nepôsobia na jednej vektorovej priamke, preto treba poctivo napísať rovnicu pre momenty síl. Momenty budeme počítať vzhľadom na ťažisko.⁵ Najskôr ale potrebujeme zistiť, kde pôsobia sily \(F\). Keď si predstavíme, ako sa hlava dieťaťa chce natáčať okolo hrany stola, tak jasne vidíme, že sily pôsobia v miestach horných stoličiek a dolných rezákov. Teraz nám už nič nebráni zapísať podmienku nulovosti celkového momentu síl. Pripomeňme ešte, že moment sily vypočítame ako súčin veľkosti sily a vzdialenosti vektorovej priamky od bodu, vzhľadom na ktorý moment počítame. Matematicky vyjadrené \(M=\rho F\). Dostávame teda rovnicu \[\rho_{R}F=\rho_{S}F+\rho_{S}N\]

Z uvedených rovníc je už triviálne vyjadriť, že \[F=\frac{mg\rho_{S}}{\rho_{R}-\rho_{S}}\] Skúsme odhadnúť veľkosť tejto sily. Uvažujme dieťa hmotnosti \(m=\SI{20}{\kilo\gram}\). Nech vzdialenosť stoličiek od ťažiskovej zvislice je \(\rho_{S}=\SI{10}{\centi\metre}\) a „hĺbka chrupu“⁶ \(\rho_{R}-\rho_{S}=\SI{2}{\centi\metre}\). V takom prípade dostávame \(F=\SI{1}{\kilo\newton}\). Je to veľa, či málo? Táto hodnota vám možno veľa nepovie, tak uveďme krátky prehľad síl, ktoré dokážu vyvinúť svojimi čeľusťami niektoré živočíchy.⁷

Na základe tejto tabuľky vidíme, že dieťa nemá šancu udržať sa svojím chrupom na stole vo zvislej polohe. Pre iné živočíchy je, samozrejme, potrebná sila na udržanie rôzna a závisí od ich hmotnosti a proporcií tela. Tentokrát vás výrazne nabádame, aby ste tieto výsledky neskúšali konfrontovať s experimentom, pokiaľ sa nechcete doživotne vyhnúť návšteve zubára.