7. Portrét ako od Da Vinciho vzorové riešenie

1.3 Prvá úloha

Čo by sa muselo v systéme zmeniť, aby sa častica v portréte nachádzala pod osou x? Ako by sa zmenila jej trajektória v portréte?

Stačilo by jej udeliť rýchlosť v smere doľava (teda v našich súradniciach zápornú). Potom by sa samozrejme musela hýbať aj v portréte smerom doľava.

2.2 Častice s trením

Kde v portréte nakoniec skončia nakoniec všetky častice? Prečo?

Celkom zjavne skončia na osi \(x\), teda v miestach, ktoré zodpovedajú nulovej hybnosti a teda aj rýchlosti. No a je to samozrejme preto, že ich trenie za nejaký čas zabrzdí (aj keď prísne vzaté to bude trvať nekonečne dlho).

3.1 Trenie

Môžu sa dve trajektórie vo fázovom portréte pretínať (okrem prípadov, keď oba objekty zastanú v tom istom bode)? Ak áno, za akých okolností? Ak nie, prečo?

V Newtonovskej mechanike platí, že ak poznáme všetky pôsobiace sily a počiatočné podmienky (teda polohu a rýchlosť), dokážeme predpovedať budúcu polohu telesa v ľubovoľnom čase. Poloha častice v portréte nám udáva práve obe počiatočné podmienky, pôsobiace sily sú zase pevné dané tým, aký systém skúmame. Ak by sa teda dve trajektórie pretli, znamenalo by to, že priesečníku, teda jednému stavu v prítomnosti, prislúchajú dva rôzne budúce vývoje. No a to Newtonovská mechanika nepripúšťa. Líšiť sa môžu v prípade, že na častice pôsobia rôzne veľké sily, ale potom nemajú spoločný portrét. Preto neustále zdôrazňujeme, čo je jeden portrét, a čo je viac portrétov na jednom obrázku – podobne môžeme do jedného grafu kresliť viacero funkcií, ale nesmieme si to mýliť s jednou funkciou a tvrdiť, že funkcia nadobúda viacero hodnôt.

3.3 Náhodné s trením

Je možné nejak zariadiť, aby sa objekt v kladnej polrovine portrétu podľa p pohol smerom doľava?

Tu by už malo byť zrejmé, že určite nie – znamená to totiž, že jeho hybnosť je kladná a teda súradnica polohy v čase musí rásť. Rýchlosť sa síce tiež môže meniť v závislosti od pôsobiacej sily, takže sa častica v portréte môže pohybovať rôzne hore a dolu, nikdy však nemôže nastať pohyb smerom doľava. V takom prípade by pravdaže častica musela prejsť do zápornej polroviny.

Bonus: Aké sú všetky povolené smery v kladnej polrovine?

Toto je trochu zákerné. Určite sa môžeme hýbať v ľubovoľnom smere, v ktorom súradnica \(x\) rastie a určite sa nikdy nemôžeme pohnúť tak, aby klesala. Čo ale s pohybmi v smere osi \(p\)? Sú síce teoreticky možné, ale je na ne nutné nekonečné zrýchlenie. Niečo také v prírode pozorovať nevieme. Na druhej strane môžeme mať napríklad model častice v krabici (úloha 6.3), kde dochádza k dokonale pružným zrážkam. V takomto modeli (ktorý ale úplne nezodpovedá skutočnosti!) to možné je. Závisí teda na tom, čo si v rámci nášho modelu dovolíme.

4.1 Jeden LHO

Prečo sú v portréte dva priesečníky s osou x aj s osou p? Čomu zodpovedajú ich súradnice?

Priesečník s osou \(x\) značí nulovú hybnosť, teda častica v portréte nimi prejde v okamihoch, keď je jej rýchlosť nulová a teda výchylka maximálna. Priesečník s osou \(p\) zase samozrejme značí nulovú polohu a teda maximálnu veľkosť rýchlosti a hybnosti. No a LHO za jednu periódu dvakrát prejde dolnou úvraťou a rovnako dvakrát maximalizuje svoju výchylku.

5.1 Rôzne rýchlosti

Je tu prítomné trenie?

Zjavne nie, alebo je také veľmi malé, že ho môžeme ignorovať.

Ide o jeden fázový portrét, alebo to musí byť viacero portrétov kreslených cez seba?

Sú to iba rôzne vychýlené identické harmonické oscilátory… a teda by sme mali hneď vedieť, že to je jeden portrét.

5.3 Rôzne trenie

Vizuálne skúste približne určiť, ktorý z oscilátorov je kriticky tlmený (stačí napísať približne, napríklad ,,piaty zdola``).

Stačí sa pozerať iba na skutočný systém (nie na portrét): celá dolná polovica zjavne stihne prekmitnúť na druhú stranu, silno červené oscilátory sú zase brzdené až príliš. Viditeľne najrýchlejšie sa k osi blíži približne tridsiaty piaty zhora.

6.2 Veľký portrét

Aký je podstatný rozdiel oproti prípadu 4.3? Čo vieme povedať o perióde pohybu takéhoto oscilátora?

Hlavný rozdiel je, že uhlová rýchlosť v portréte už závisí od počiatočnej výchylky. Teda oscilátory nekmitajú s rovnakou frekvenciou, ale sa postupne rozchádzajú a perióda bude tým kratšia, čím je výchylka menšia. Je to preto, že pri väčších silách pôsobí na oscilátor výrazne väčšia sila.

6.3 Veľa oscilátorov

Ako by vyzeral portrét v limite \(n \rightarrow \infty\)? Akému fyzikálnemu systému to zodpovedá?

Tu sa stačilo poriadne zamyslieť a pozrieť sa na portrét. Mali by ste vidieť, že čím je kyvadlo červenšie, tým viac sa jeho portrét blíži k obdĺžniku. Aký pohyb by mu zodpovedal? Pohyb po zvislých stranách by musel byť nekonečne rýchly, teda náhle zmení smer na opačný. Druhou možnosťou je pozrieť sa na potenciál a uvedomiť si, že limitou \(x^{n+1}\) je potenciál, ktorý je nulový na intervale \([-1; 1]\) a nekonečne veľký inde. Častica na konštantnom potenciáli je voľná (nepôsobí na ňu žiadna sila, veď aj \(x^n = 0\)), do nekonečne veľkého sa zase nikdy nemôže dostať, takže sa odrazí. Systém teda zodpovedá voľnej častici na úsečke (alebo ak chcete, v jednorozmernej krabici :-)), pričom od okrajov sa pružne odráža. Najvrchnejší oscilátor sa už na takú časticu celkom podobá.

7.1 Matematické kyvadlo

Koľkokrát väčšiu rýchlosť by sme museli udeliť modrému kyvadlu, aby zastalo na vrchole?

Pozrieme sa na jeho potenciálnu energiu. V simulácii má akurát dosť kinetickej energie na to, aby vystúpalo do výšky \(r\). My ale chceme \(2r\). Tiažové pole je homogénne, takže potrebuje zjavne dvakrát väčšiu kinetickú energiu. Tá ale od rýchlosti závisí kvadraticky, takže potrebuje mať \(\sqrt{2}\)-krát väčšiu rýchlosť.

7.2 Dve kyvadlá

Čím sa podstatne líšia od LHO?

Mali by ste vedieť, že pre malé výchylky sa matematické kyvadlo správa ako LHO. Naše výchylky síce nie sú veľmi veľké, ale po chvíľke behu sa predsa ukáže rozdiel: perióda opäť závisí od výchylky. Na rozdiel od prípadu 6.2 sa tu ale sila s rastúcou výchylkou naopak zmenšuje (zamyslite sa, ako presne), takže kyvadlo s väčšou výchylkou kmitá trochu pomalšie.

7.3 Rôzne energie

Ktoré z kyvadiel sa najviac podobá na harmonický oscilátor? Odkiaľ to vieme a čím sú si vlastne podobné?

Samozrejme tmavozelené, pretože preň platí priblíženie malých uhlov najlepšie. Na LHO sa podobá preto, že vracajúca sila je úmerná \(\sin{\phi}\), a to sa pre malé výchylky takmer rovná \(\phi\).

Pri ktorom z kyvadiel môžeme tiažové pole zanedbať? Z čoho to vidíme?

Striktne vzaté pri žiadnom, ale najbližšie k tomu má žlté. Má dosť veľa energie na to, aby sa voľne točilo a prechádzalo hornou úvraťou. Jeho rýchlosť sa síce trochu mení (cestou nahor premieňa svoju kinetickú energiu na potenciálnu), ale vidíme to len z portrétu, na samotnom systéme to takmer nevidno.

8.3 Kyvadlá s trením

Na koľko nezávislých riešení sa súbor kyvadiel rozlezie? Čo ich odlišuje a aké sú ich súradnice v portréte?

Celkom zjavne na tri. Odlišujú sa počtom celých obrátok, ktoré stihli vykonať, než stratili priveľa energie trením. Ich súradnice zodpovedajú postupne žiadnej, jednej alebo dvom celým obrátkam, takže musia byť \(\phi= 0\text{, }2\pi\text{ a }4\pi\).

9.2 Oscilátory

Ako by sme mohli Liouvillovu vetu sformulovať inak? Aká vlastnosť celého systému sa zachováva?

Ak sa zachováva hustota bodov v každom bode, musí sa nutne zachovať objem kontinua (skúste porozmýšľať, ako to súvisí s nestlačiteľnou kvapalinou). Pekne to vidieť na príklade 9.1.

9.3 Matematické kyvadlá

Platí Liouvillova veta aj v tomto prípade? Prečo?

Na prvý pohľad to nemusí byť zrejmé, ale ak si simuláciu necháme chvíľu bežať, zistíme, že kyvadlá spomaľujú a teda sa celková energia systému nezachováva. Ľubovoľné kyvadlo preto časom stratí všetku svoju energiu a teda v portréte skončí na osi \(\phi\) (a dokonca vždy v bode so súradnicou \(\phi = 2k\pi\)). „Plocha“ troch bodov je nulová, takže Liouvillova veta tu nemôže platiť. Naozaj, nutnou podmienkou jej platnosti je zachovanie mechanickej energie systému.