5. Rozmarné výpary vzorové riešenie

Ako zadanie hovorí, budeme sa venovať mernému skupenskému teplu vyparovania. Je to fyzikálna konštanta, ktorá hovorí, koľko tepla musíme „zaplatiť“, aby jeden kilogram látky prešiel fázovou premenou, napr. vyparovaním. Táto konštanta býva často interpretovaná ako merné skupenské teplo varu, čo je spôsobené faktom, že ak privedieme kvapalinu do varu, tak jej teplota nestúpa nad bod varu, a všetka energia dodaná systému spôsobuje vyparovanie (toto platí, ak je tlak okolia konštantný).

Musíme sa zamyslieť, ako také vyparovanie prebieha. Postupne sa od vodnej hladiny odtŕhavajú molekuly a uvoľňujú sa do priestoru. Ak vzniknutá vodná para má mať rovnakú teplotu, ako mala v kvapalnom stave, je potrebné si zodpovedať otázku, kam ide energia dodaná v podobe skupenského tepla vyparovania. Odpoveď znie: na zväčšenie povrchu látky.

Vieme, že príroda sa snaží dostať do stavu s minimálnou energiou. Keďže aj s povrchom rozhrania voda–vzduch sa spája energia (konkrétne povrchové napätie), aj voda sa snaží minimalizovať svoju energiu, teda zoskupuje do kvapiek, aby mala čo najmenší povrch. Medzimolekulové sily môžu za to, že molekuly v povrchovej vrstve sú priťahované smerom do vnútra kvapaliny. Mierou takéhoto priťahovania je povrchové napätie \(\sigma\). Medzi zmenou energie povrchovej vrstvy \(\Delta E\) a zmenou povrchu vrstvy \(\Delta S\) platí vzťah \[\Delta E = \sigma \Delta Si\text{.}\]

Zatvorme teoretické okienko a poďme robiť myšlienkový experiment. Majme vodu s hmotnosťou \(m\). Pre jednoduchosť nech je tvaru kocky s hranou \(\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{\frac{m}{\rho }}\). Ak tvar molekuly aproximujeme kockou s hranou \(a\), tak povrch látky po vyparení bude \(N \cdot 6a^2\), kde \(N\) je počet molekúl. Z ich nestlačiteľnosti vyplýva \(Na^3 = \frac{m}{\rho}\). V našom modeli je všetka energia potrebná na vyparenie vložená do zväčšenia povrchu, teda platí:

\[ml_v = \sigma \left(6Na^2-6 \left(\frac{m}{\rho }\right)^\frac{2}{3}\right)\text{,}\] \[ml_v = \sigma \left(6 \frac{m}{ \rho a^3 } a^2-6 \left(\frac{m}{\rho }\right)^\frac{2}{3}\right)\text{,}\] \[\frac{ml_v}{6\sigma }=\frac{m}{\rho a} - \left(\frac{m}{\rho }\right)^{2/3}\text{.}\]

Keď sa pozrieme na rozdiel na pravej strane, vidíme, že menšiteľ je o niekoľko rádov menší ako menšenec, a teda ho môžeme v prospech krajšieho výsledku zanedbať.¹ Po úprave dostávame rádový odhad veľkosti molekuly

\[a=\frac{6 \sigma }{\rho l_v} \approx \SI{2e-10}{\metre}\text{.}\]

Na celom výpočte je obdivuhodné a krásne, že sme potrebovali poznať iba makroskopické veličiny ako hustotu, merné skupenské teplo vyparovania, či povrchové napätie. Niekomu by sa mohlo zdať nahradenie tvaru molekuly vody kockou za príliš nepresnú aproximáciu, ale je zjavné, že takéto priblíženie nemení rád odhadu. Autorom opísanej úvahy je americký teoretický fyzik rakúskeho pôvodu Victor Frederick Weisskopf (1908 – 2002).