2. V núdzi zaboč doprava vzorové riešenie

Zadanie

Filip cestuje autobusom domov do rodného Kubína, keď tu zrazu z ničoho nič sa pred autobusom kolmo na smer cesty objaví obrovský dlhý betónový múr¹. Čo má Filip ako znalec mechaniky autobusárovi poradiť, aby mali čo najväčšiu šancu na prežitie (t.j. pôsobilo na nich čo najmenšie preťaženie)? Je výhodnejšie nechať autobus smerovať kolmo na stenu múru a začať brzdiť, alebo naopak stočiť autobus tak, aby tesne lízol múr?

---

1. Čo vám povieme, autobusár je degeš.↩

Čo to zase od nás chcú? Vraj zrátať nejaké preťaženie. Ale čo to preťaženie vlastne je? V skutočnosti to nie je žiadna veda. V jednoduchosti možno povedať, že preťaženie, v anglickej terminológii označované aj ako g-force, je zrýchlenie, ktoré na objekt pôsobí, vyjadrené v násobkoch tiažového zrýchlenia \(g\).¹ Dohodnime sa, že ho budeme označovať \(\alpha\) a vypočítame ho podľa vzťahu \(\alpha=\frac{a}{g}\). Tak napríklad preťaženie voľne položeného telesa na Zemi je \(\alpha=1\,g\). Teraz to možno vyzerá, že si sami protirečíme, keď sme povedali, že je to zrýchlenie. Veď voľne položené teleso očividne nezrýchľuje. Lenže treba si uvedomiť, že na teleso skutočne pôsobí tiažová sila a v pohybe mu bráni len sila od podložky. Z toho dôvodu by možno bola výhodnejšia definícia preťaženia \(\alpha=\frac{F}{mg}\). Nulové preťaženie má teda teleso v beztiažovom stave alebo aj teleso padajúce voľným pádom bez odporu vzduchu.² Zrejme má zmysel uvažovať aj o smere, v ktorom pôsobí. Nás bude zaujímať len dodatočné preťaženie vplyvom jazdy v autobuse a preťaženie \(1\,g\) od tiažovej sily nebudeme uvažovať.³

Nech sa autobus pohyboval rýchlosťou \(v_{0}\). V zadaní sa píše, že sa pred autobusom zrazu zjavil múr. Povedzme, že šofér zareagoval, keď bol múr vo vzdialenosti \(d\). Máme prešetriť dve možnosti:

1. autobus pokračuje rovno a brzdí;
2. šofér strhne volant a autobus sa múru vyhne.

Chceme zistiť, v ktorom prípade pôsobí na autobus menšia sila (t.j. menšie zrýchlenie).

V prvom prípade je rozumné predpokladať, že zrýchlenie je konštantné a autobus zastal tesne pred múrom⁴ Tým pádom vyšetrujeme rovnomerne spomalený pohyb. Napíšme si kinematické rovnice, ktoré ho popisujú: \[d=v_{0}t-\frac{1}{2}a_{1}t^{2}\quad\text{a}\quad v=v_{0}-a_{1}t\text{.}\] Vylúčením času a položením \(v=\SI{0}{\metre\per\second}\)⁵ dostávame \(a_{1}=\frac{v_{0}^{2}}{2d}\), a teda preťaženie je \[\alpha_{1}=\frac{v_{0}^{2}}{2dg}\text{.}\]

V druhom prípade je najvýhodnejšie, ak sa autobus pohybuje po kružnicovom oblúku, kedy sa jedná o konštantné dostredivé zrýchlenie. Ak by sme zvolili inú trajektóriu, tak na kompenzáciu rovnejších častí by niekde musel byť úsek s ostrejšou zákrutou, v ktorej, nakoľko zrýchlenie nepriamo úmerne závisí od polomeru krivosti⁶, by pasažieri, a teda aj Filip, boli vystavení väčšiemu preťaženiu. Tak isto by malo byť zrejmé, že ak by sme chceli meniť aj rýchlosť, preťaženie by sme iba zbytočne zvýšili a my chceme nájsť spôsob, pri ktorom bude na Filipa pôsobiť čo najmenšie preťaženie.

Aby sa úspešne vyhol múru, musí opísať celú štvrťkružnicu. To znamená, že polomer krivosti jeho trajektórie je práve \(d\). Počas prejazdu sa veľkosť rýchlosti nemení, no mení sa jej smer. Na autobus musí pôsobiť dostredivé zrýchlenie veľkosti \(a_{2}=\frac{v_{0}^{2}}{d}\), aby sa pohyboval po uvedenej trajektórii, preto v tomto prípade dosahuje preťaženie hodnotu \[\alpha_{2}=\frac{v_{0}^{2}}{dg}\text{.}\]

Porovnaním vypočítaných preťažení zisťujeme, že je bezpečnejšie pokračovať v smere jazdy a začať brzdiť, keďže \[\alpha_{2}=2\alpha_{1}\text{.}\]

Prečo je to tak? Vráťme sa k výpočtu a poďme počítať čas. Nakoľko už poznáme základné vzorčeky, jednoduchými úpravami zistíme, že v prvom prípade zastavil za \(t_\mathrm{z} = \frac{2d}{v_{0}}\). V druhom prípade už vieme, že prešiel štvrťkružnicu dĺžky \(s = \frac{2\pi d}{4}\) konštantnou rýchlosťou \(v_{0}\). Nakoľko svoju rýchlosť nemenil, môžeme použiť vzťah: \(t = \frac{s}{v_{0}} = \frac{\pi d}{2v_{0}}\). A keďže \(\frac{\pi}{2} < 2\), je zrejmé, že vybočenie zobralo pasažierom menej času ako ubrzdenie, čo však z hľadiska preťaženia až tak pozitívne nie je. Za tento čas autobusár nielenže eliminoval svoju rýchlosť v smere na múr,⁷ ale aj zrýchlil na rýchlosť, ktorou smeroval na múr v smere rovnobežnom s múrom!

Zamyslime sa ešte nad tým, či na tom ale vôbec záleží z praktického hľadiska. Principiálne nie je možné pri jazde autobusom dosiahnuť väčšie zrýchlenie než \(a=fg\), kde \(f\) je koeficient statického trenia medzi kolesami a vozovkou,⁸ a teda maximálne možné preťaženie, ktoré možno zažiť v autobuse je \(\alpha=f\). Koeficient statického trenia medzi asfaltom a gumou dosahuje hodnoty okolo \(\num{0.5}\), takže pri jazde nie sme vystavení väčšiemu preťaženiu než \(\num{0.5}\,g\). Takéto preťaženie však neublíži ani vajíčkam, z ktorých si chce Filip pripraviť na večeru omeletu. Zdravý človek by mal zniesť bez ujmy preťaženie až do \(10\,g\).⁹ Skutočný význam teda nemá porovnávať preťaženia, keďže tie principiálne nemôžu byť vysoké, ale dráhy, na ktorých sme schopní vykonať brzdný alebo vyhýbací manéver pri maximálnom možnom absolútnom zrýchlení, no a v tomto ohľade je ďaleko efektívnejšie zvoliť brzdenie, keďže potrebná brzdná dráha je polovičná v porovnaní s polomerom zakrivenia pri snahe vyhnúť sa múru.