7. Ako sa pružinky s Enkou zabávali vzorové riešenie

Zadanie

Enka umiestnila malé závažie medzi dve nenatiahnuté pružiny s počiatočnou dĺžkou \(l_0\), ktoré boli na opačných koncoch pevne prichytené tak, že sústava v pokoji vytvárala priamku. Následne vychýlila závažie v kolmom smere o \(\SI{1}{\centi\metre}\) a odmerala periódu pohybu \(\SI{2}{\second}\). Potom vychýlila závažie dvojnásobne v kolmom smere o \(\SI{2}{\centi\metre}\). Aká bola perióda pohybu v tomto prípade? Počiatočná dĺžka pružín je rádovo väčšia ako centimetre a tiažovú silu uvažovať nemusíte.

Človek by si povedal, že keď uvidí fyzikálny príklad s malými kmitmi, tak ho výsledok nemôže prekvapiť. Veď predsa zadanie hovorí, že počiatočná dĺžka pružín je rádovo väčšia ako výchylka. Teda musí ísť o malé kmity a pri nich predsa perióda nezávisí od amplitúdy výchylky. Úloha vyriešená a bodka.

Žiaľ, sklameme vás, také jednoduché to nie je. To, čo tu zohrá podstatnú úlohu, je fakt, že výsledná sila nepôsobí v smere predĺženia pružiny, ale pôsobí takmer kolmo naň. Ako presne? Zrátajme si to. Vieme, že pre vratnú silu pružiny platí \(F=-ky\), kde \(y\) je predĺženie pružiny. V našom prípade máme pružiny dve a vychyľujeme pružiny so závažím v kolmom smere o \(x\), presne ako hovorí zadanie. Zložky v smere spojnice stien sa vyrušia a v kolmom smere bude výsledná sila \[F_v = -2ky \sin{\alpha} = -2k(\sqrt{x^2 + l^2_0}-l_0) \frac{x}{\sqrt{x^2+l^2_0}} = -2k\left( x - \frac{x l_0}{\sqrt{x^2+l^2_0}} \right)\text{.}\]

Super, máme výslednú silu, ale múdrejší rozhodne nie sme. Jediné, čo si môžeme všimnúť, je to, že to nezávisí od prvej mocniny \(x\), ako sme na začiatku mohli predpokladať. Nič viac. Celé zle. Vyzerá to tak, že by sme mali hodiť uterák do ringu, lebo nám o chvíľu tento príklad uštedrí K.O. Ešteže máme tromf v rukáve. V hľadisku sedí ujo nášho brata koňa psa, ujo Taylor. Ten ochotne pribehne, podá nám pomocnú ruku (teda polynóm, respektíve spraví rozvoj). Čo to vlastne je? Taylorov polynóm je polynomiálna funkcia, ktorá veľmi dobre aproximuje našu skúmanú funckciu v okolí niektorého bodu, ktorý nás najviac zaujíma. Ako taký polynóm vypočítať a prečo to vlastne funguje? Je to na dlhšie, preto odporúčame prečítať si tento článok na wikipédii: https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

Nás zaujíma práve okolie nuly(lebo okolo toho \(x_0\) práve kmitáme) a zistíme, ktorá mocnina \(x\) dominuje vo výraze pre výslednú silu. Samozrejme, zaujíma nás iba najnižšia mocnina Taylorovho polynómu¹ Ujo Taylor po dôkladnom vyšetrení chrupu usúdi, že \[F_v \approx - k\frac{x^3}{l^2_0} = -C x^3\text{.}\]

Aaaaaha, teraz už sme múdrejší, ale stále sme zdolali len polovicu úlohy. Ako závisí perióda od počiatočnej výchylky? Nepotrebujeme presný výraz, stačí nám iba závislosť od \(x\). A keďže vieme, že celý pohyb nám popisuje silová pohybová rovnica, tak perióda musí závisieť iba od hmotnosti závažia \(m\), počiatočnej výchylky \(x\), „tuhosti“ \(C\), a dákych bezrozmerných konštánt. To, k čomu smerujeme, sa nazýva škálovanie. Zistíme, ako vieme hľadanú veličinu vyskladať zo vstupných parametrov tak, aby nám sedeli jednotky a potom sa už iba pozrieme, čo sa stane s výsledkom, ak hodnotu jedného parametra niekoľkokrát zväčšíme. Ľahko si spočítame, že rozmer \(\lbrack C\rbrack = \si{\kilo\gram\per\metre\squared\per\second\squared}\). „Tuhosť“ je zjavne jediná vstupná veličina, ktorá v sebe obsahuje sekundu, takže nebude treba veľmi dlho špekulovať a dospejeme k tomu, že pre periódu kmitania platí \[T\propto C^{-\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} x^{-1}\text{.}\]

Dôležité je práve to \(x^{-1}\). Teraz už ľahko vidíme, že ak zdvojnásobime amplitúdu, perióda bude polovičná.²