6. Večne hravý špekulant vzorové riešenie

Zadanie

Vladko sa na hodine fyziky dozvedel, že ak zoberieme vodič a vytvarujeme ho do uzavretej slučky, tak pokiaľ sa bude meniť tok magnetického poľa prechádzajúci touto slučkou, potom sme schopní odmerať multimetrom indukované elektromotorické napätie na tejto slučke. Vladko je však špekulant a vymyslel nasledujúci pokus.

Zobral cievku s prierezom \(\SI{20}{\centi\metre\squared}\), v ktorej sa zvyšuje magnetické pole rýchlosťou \(\SI{2}{\milli\tesla\per\second}\). Následne zobral drôt s celkovým odporom \(\SI{100}{\ohm}\) a raz ho obtočil okolo cievky tak, že drôt vytvoril uzavretú slučku. Následne na dve miesta v slučke pripojil dva rovnaké multimetre s obrovským vnútorným odporom podľa obrázka a začal merať indukované napätie na slučke.

Od vás by chcel vedieť, aké napätia ukážu jednotlivé multimetre. Ako je možné, že multimetre zobrazia takéto hodnoty? Vysvetlite!

Tento príklad bol ľahší, než na prvý pohľad vyzerá, a preto prvé poučenie je, že sa netreba hneď báť :).

Označme \(U_1\) napätie, ktoré ukáže horný multimeter a \(U_2\) napätie, ktoré ukáže dolný multimeter. Vieme, že keďže sa mení tok magnetického poľa prechádzajúci cez uzavretú slučku obsahujúcu dva odpory, tak sa na tejto slučke bude indukovať elektromotorické napätie vďaka elektromagnetickej indukcii – Faradayovmu zákonu.

Krátky výpočet prezradí, že indukované elektromotorické napätie (až na znamienko!) bude presne \[U_{\text{induk}} = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d} t} = S\frac{\partial B}{\partial t} = \SI{4}{\micro\volt}\text{,}\]

kde \(\Phi\) je tok magnetického poľa slučkou.

Slučka, cez ktorú sa mení tok magnetického poľa obsahuje dva odpory s celkovým odporom \(R = \SI{100}{\ohm}\), a preto hneď vieme, že cez túto slučku bude prechádzať prúd \(I = \SI{0.04}{\micro\ampere}\). Ak vieme, ktorá ruka je pravá, hravo zistíme, že prúd bude tiecť cez slučku v smere hodinových ručičiek.¹

Cez slučku obsahujúcu horný multimeter a odpor s veľkosťou \(R = \SI{50}{\ohm}\) sa nemení tok magnetického poľa a podobne ani cez slučku obsahujúcu iba dolný multimeter a odpor s veľkosťou \(R = \SI{50}{\ohm}\). Tieto slučky neobsahujú ani žiadny ďalší zdroj elektromotického napätia, ako napríklad batériu, a preto multimetre ukážu presne hodnoty napätia na jednotlivých odporoch. Keďže prúd prechádzajúci cez oba odpory je rovnaký, a rovnaké sú aj odpory, na oboch multimetroch uvidíme hodnotu \(IR = \SI{10}{\micro\volt}\). Ostáva nám už len určiť znamienka.

Keďže prúd ide v slučke s odpormi v smere hodinových ručičiek, tak aj v tomto smere klesá napätie na jednotlivých odporoch. Horný multimeter je teda (+) koncom pripojený na bod s vyšším napätím a (-) koncom s nižším napätím, čiže súhlasne so smerom, ktorým klesá napätie. Preto ukáže hodnotu \(U_1 = + \SI{2}{\micro\volt}\). Dolný multimeter je (+) koncom pripojený na bod s nižším napätím a (-) koncom na bod s vyšším napätím (teda presne opačne ako horný multimeter). Teda napätie klesá opačným smerom ako je pripojený multimeter, a preto ukáže hodnotu \(U_1 = -\SI{2}{\micro\volt}\).

Áno, presne na tých znamienkach záleží! Každý správny fyzik by si mal teraz položiť otázku, prečo nám vyšli dve rôzne hodnoty napätia. Však sme sa predsa v škole učili, že napätie medzi dvoma bodmi je (v ustálenej situácii) jednoznačné!² Zjavne je niekde problém …

Vtip je však v tom, že sme sa to v škole učili pri obvodoch, v ktorých nebolo nič také ako indukované elektromotorické napätie. Znamená to, že indukované elektromotorické napätie NIE JE vo svojej povahe to isté napätie ako v tých jednosmerných obvodoch. Doplácame tu na našu slovenčinu, ktorá používa termín napätie v dvoch rôznych kontextoch. V angličtine je tento problém vyriešený už v názve elektromotorické napätie (electromotive force) a napätie (voltage).

Ak teraz naštvaní čítate tieto riadky, mysliac si „ako som mal na toto prísť?“, skúste si aspoň odniesť morálne poučenie, že pri obvodoch, v ktorých sa mení tok magnetického poľa, nemá zmysel hovoriť len o napätí ako rozdieli potenciálov, ale treba špecifikovať aj cestu, „pozdĺž ktorej“ toto napätie meriame.

Niektorí z Vás si nevšimli, že polarita napätí môže byť rôzna, to bolo v tomto príklade to netriviálne, a preto išiel za to bod dole. Takisto podaktorí miesto správnej aplikácie Kirchhoffových zákonov, rovno odbili všetko s tým, že keďže slučka je spojená, tak voltmetre ukážu nulu, lebo „nie je rozpojená a tečie cez slučku prúd“. Táto úvaha, je však nekonzistentná, pretože ak je vo vnútri vodiča rozdiel elektrických potenciálov, tak sa voľné nosiče náboja, typicky elektróny, budú snažiť tento rozdiel vyrovnať, čiže vodičom bude tiecť elektrický prúd. Toto nám, de facto, hovorí Ohmov zákon.