3. Čaj o piatej vzorové riešenie

Vieme, že Maťo si zalial svoj obľúbený čaj, a potom sa pustil do študovania. Od tohto momentu nikto s čajom nemanipuloval, takže sa zamyslime nad tým, čo sa s ním mohlo stať. Hneď prvá vec, ktorá nám intuitívne napadne, je, že čaj bude postupne chladnúť. Akosi tušíme, že tu by mohol byť pes zakopaný, tak sa pozrime na to, čo sa s čajom pri chladnutí deje. No tak najpodstatnejší je fakt, že čaj musí strácať teplo. To sa deje tromi spôsobmi:

• tepelnou výmenou s okolím;
• vyžarovaním v podobe EM vĺn;
• vyparovaním.

V prvých dvoch prípadoch sa množstvo čaju¹ nemení, v treťom evidentne z čaju unikajú molekuly vody, takže množstvo čaju klesá. Mohlo by sa zdať, že za úbytok čaju je zodpovedné výlučne vyparovanie, ale nezavrhujme ešte ani prvé dva spôsoby. To, čo Maťo pozoroval, bol predsa úbytok na objeme a nie na hmotnosti.

Ale ako sa môže meniť objem, keď sa nemení hmotnosť látky? Jednoducho. Musí sa zmeniť jej hustota. Teplota vlastne odzrkadľuje pohyb častíc látky. Čím je voda teplejšia, tým sa jej molekuly pohybujú rýchlejšie a sú ďalej od seba. Preto, keď voda chladne, pohyb molekúl sa spomaľuje a molekuly sa dostanú bližšie k sebe, čo sa prejaví makroskopickým zmenšením objemu vody.

Odhalili sme teda dva mechanizmy, ktoré stoja za úbytkom čaju – vyparovanie a teplotná rozťažnosť. Pokúsme sa určiť, ktorý z nich je dominantný. V nasledujúcich úvahách budeme predpokladať, že vždy prebieha len jeden z nich.

Pozrime sa najskôr na teplotnú rozťažnosť. Uvažujme, že Maťo zalial čaj vodou s objemom \(V=\SI{2}{\deci\litre}\) a teplotou \(T=\SI{373.15}{\kelvin}\). Odhadnime, ako sa zmenil objem, ak teplota čaju poklesla o \(\Delta T\). Pri malých teplotných zmenách možno uvažovať lineárnu závislosť objemu na teplote, teda \[\Delta V\approx \alpha V\Delta T\text{,}\] kde \(\alpha\) je súčiniteľ teplotnej rozťažnosti vody. Jeho presnú hodnotu možno vyhľadať v tabuľkách. Nám vystačí rádový odhad \(\alpha\approx\SI{2e-4}{\per\kelvin}\). V takom prípade \(\Delta V\approx\SI{4e-8}{\metre\cubed\per\kelvin}\cdot\Delta T\), čiže ak teplota poklesne napríklad o \(\Delta T=\SI{25}{\kelvin}\), objem čaju poklesne o \(\Delta V\approx\SI{1}{\milli\litre}\), čo vyzerá ako celkom rozumná hodnota.²

Zamerajme sa teraz výlučne na vyparovanie. Molekuly vody na seba navzájom silovo pôsobia. Ak by chcela niektorá z molekúl opustiť kvapalinu, musela by mať dostatočnú energiu na prekonanie príťažlivých síl a k tomu ešte správny smer pohybu a byť dostatočne blízko k hladine. K tomu naozaj dochádza a vtedy hovoríme o vyparovaní. Čo z toho pre nás vyplýva? Predovšetkým to, že takýmto spôsobom unikajú molekuly s najvyššou energiou a ako sme už uviedli, energia molekúl zodpovedá teplote, takže keď unikajú molekuly s najvyššou energiou, teplota vody klesá. Toto je však úloha pre molekulovú a štatistickú fyziku, čo presahuje naše znalosti.

Otázka preto znie, či by sa to nedalo zrátať jednoduchšie. A skutočne, dalo. Stačí sa pozrieť na makroskopický popis problému. Ak teplota klesne o \(\Delta T\), kvapalina odovzdá teplo \(Q=mc\Delta T\). Merná tepelná kapacita je funkciou teploty, ale pre malý teplotný rozdiel ju možno považovať za konštantu. Opäť jej presnú hodnotu pre vodu pre danú teplotu možno vyhľadať v tabuľkách, no my si vystačíme s približnou hodnotou \(c\approx\SI{4.2e3}{\joule\per\kilo\gram\per\kelvin}\). Na vyparenie vody s hmotnosťou \(m\) je potrebné teplo \(L=ml\), kde \(l\) je merné skupenské teplo vyparovania a taktiež je funkciou teploty. Nám však ide iba o rádový odhad, takže stačí zobrať iba približnú hodnotu pre vodu \(l\approx\SI{2.2e6}{\joule\per\kilo\gram}\) pri teplote \(T=\SI{373.15}{\kelvin}\).

Nech sa teda vyparí voda s objemom \(\Delta V\). Na to je potrebné teplo \(L\approx\rho\Delta Vl\). Toto teplo pochádza z poklesu teploty zvyšného objemu vody. Ak jej teplota klesla o \(\Delta T\), tak sa takýmto spôsobom uvoľnilo \(Q\approx\rho\left(V-\Delta V\right)c\Delta T\). Dajme do rovnosti tieto dve hodnoty a dostaneme \[\Delta V\approx\frac{Vc\Delta T}{l+c\Delta T}\text{.}\] Merná tepelná kapacita vody je asi 500-krát menšia než merné skupenské teplo vyparovania. Rozumné teplotné rozdiely dosahujú maximálne nejakých \(\SI{50}{\kelvin}\).³ To ale znamená, že výraz \(c\Delta T\) je rádovo menší než \(l\), a teda ho možno zanedbať. Dostávame \(\Delta V\approx\frac{Vc\Delta T}{l}\).

Vyčíslime, v akom pomere sú zmeny objemu spôsobené teplotnou rozťažnosťou k zmenám objemu spôsobeným vyparovaním \[\frac{\Delta V_{\mathrm{rozťažnosť}}}{\Delta V_{\mathrm{vyparovanie}}} \approx \frac{V\alpha\Delta T}{\frac{Vc\Delta T}{l}} = \frac{\alpha l}{c} \approx \frac{\SI{2e-4}{\per\kelvin}\cdot\SI{2.2e6}{\joule\per\kilo\gram}}{\SI{4.2e3}{\joule\per\kilo\gram\per\kelvin}}\approx\num{0.1}\text{.}\] Už sme vypočítali, že vplyvom teplotnej rozťažnosti ubudne asi \(\SI{1}{\milli\litre}\) čaju. Na základe práve vykonaných výpočtov by malo vplyvom vyparovania ubudnúť približne 10-krát viac. No nezabúdajme na to, že tieto výpočty boli vykonané na základe predpokladu, že teplo sa stráca výlučne vyparovaním, resp. spoločne tepelnou výmenou a vyžiarením ale bez vyparovania, teda ide o horné odhady. Pokojne sa môže stať, že ak sa vyparovaním stratí omnoho menej tepla než zvyšnými spôsobmi dokopy, tak úbytok na objeme vplyvom vyparovania môže byť dokonca menší než vplyvom teplotnej rozťažnosti. To na základe našich výpočtov s určitosťou povedať nevieme.

V tomto momente s našimi úvahami skončíme, pretože v podrobnejšom skúmaní nám bráni náš nedostatočný matematický aparát. Uzavrieme to s tým, že na zmene objemu sa podieľajú oba javy - vyparovanie i teplotná rozťažnosť. Oba sa nám podarilo kvantifikovať. Avšak na to, aby sme vedeli urobiť predikciu, o koľko sa zmenší objem vplyvom vyparovania a o koľko vplyvom rozťažnosti, museli by sme poznať pomer, v akom sa stráca teplo vplyvom vyparovania k zvyšným spôsobom. Tento pomer, žiaľ, nevieme nijako jednoducho vypočítať.⁴

A ako ste za túto úlohu mohli získať veľa bodov? Bolo si treba uvedomiť, že vyparovanie nie je jediný jav zodpovedný za zmenu objemu a zamyslieť sa nad tým, do akej miery sa jednotlivé mechanizmy prejavujú.