5. Reálne cvičenie vzorové riešenie

Ako prvé si vieme všimnúť, že celá situácia bude symetrická podľa spojnice spodného a horného kĺbu. Respektíve na pravú dolnú tyč budú pôsobiť symetricky rovnaké sily ako na ľavú dolnú tyč a rovnako to bude pre horné tyče. Preto ak zistíme, ako sa delia sily na pravej strane, rovnako sa budú deliť aj na ľavej. Ako druhé vieme, že súčet všetkých síl, ktoré pôsobia na tyč musí byť \(0\), inak by mali tyče podľa druhého Newtonovho zákona zrýchlenie a nebola by to ustálená situácia. Z ustálenej situácie vieme takisto určiť, že súčty momentov síl pôsobiacich na jednotlivé tyče musia byť \(0\), inak by pomôcka mala uhlové zrýchlenie a rotovala by.

Ak uvažujeme cvičiacu pomôcku ako uzavretú sústavu, zvonku pôsobí tiažová sila a normálová sila od podložky. Keďže sústava nezrýchľuje, aj ich súčet musí byť \(0\). Tiažová sila pôsobí na každú z tyčí rovnako, keďže majú rovnakú hmotnosť. Normálová sila od podložky sa však symetricky rozdelí medzi dolné dve tyče.

Okrem vonkajších síl tam sú aj vnútorné, ktorých celkový súčet musí byť 0, keďže ide o vnútorné sily. V prvom rade je tam sila od pružinky. Tá v pravom a ľavom kĺbe pôsobí silou rovnakej veľkosti opačného smeru. Tento smer je kolmý na vertikálnu os pomôcky a smeruje k nej. Okrem sily od pružinky sú tam ešte sily, akými na seba pôsobia tyče navzájom. Na tyč pôsobí v každom kĺbe sila kolmá na os uhla, ktorý zvierajú tyče v danom kĺbe, smerujúca od tejto osi. (To, že je kolmá na na os uhla vieme z toho, že sila opačného smeru a rovnakej veľkosti musí pôsobiť na druhú tyč a nemá prečo na ňu pôsobiť pod iným uhlom ako na prvú.)

S týmito znalosťami si vieme nakresliť všetky sily, ktoré pôsobia na pravú hornú tyč

a na pravú dolnú tyč:

Vidíme, že sila \(F_2\) musí mať veľkosť \(mg\). Vieme to z toho, že spolu s tiažovou je jediná, ktorá pôsobí na hornú tyč vo vertikálnom smere, a teda \(F_2 = mg\).

Súčet momentov síl musí byť nulový vzhľadom na hociktorý bod – ak by to neplatilo, tyč by sa zrýchľujúco otáčala okolo daného bodu, lenže my vieme, že sa neotáča. Zvoľme si osi otáčania horný kĺb sústavy, a potom pre druhú rovnicu spodný kĺb. Vtedy z momentov síl musí platiť \[ \begin{aligned} F_2 \cos(\alpha) l &= mg \cos(\alpha) \frac{l}{2} + F_{p1} \sin(\alpha) l, \\ mg \cos(\alpha) \frac{l}{2} + F_3 \cos(\alpha) l &= F_{p2} \sin(\alpha) l. \end{aligned} \]

Ostáva už len vyjadriť \(F_{p1}\) a \(F_{p2}\) a dať ich do pomeru: \[ \begin{aligned} F_{p1} &= \cot (\alpha) \left(F_2 - \frac{mg}{2} \right) = \frac{1}{2} \cot (\alpha) mg, \\ F_{p2} &= \cot (\alpha) \left(F_3 + \frac{mg}{2} \right) = \frac{3}{2} \cot (\alpha) mg, \\ \frac{F_{p2}}{F_{p1}} &= \frac{\frac{3}{2} \cot (\alpha) mg}{\frac{1}{2} \cot (\alpha) mg} = 3, \\ \end{aligned} \] respektíve \[ \frac{F_{p1}}{F_{p2}} = \frac{\frac{1}{2} \cot (\alpha) mg}{\frac{3}{2} \cot (\alpha) mg} = \frac{1}{3}. \]