6. Fyzik vo fitku vzorové riešenie

Začnime tým, že sa pozrieme na to, aké sily pôsobia na valec položený na bežiaci pás. V horizontálnom smere je to trecia sila medzi valcom a pásom a vo vertikálnom smere tiažová sila a normálová sila od pásu.

Keďže sa vo vertikálnom smere valec nepohybuje, tiažová a normálová sila musia byť v rovnováhe \[ N=mg. \]

V horizontálnom smere je situácia o trochu zaujímavejšia, no nie oveľa. Podľa druhého Newtonovho zákona môžeme jednoducho písať \[ ma=F_{t}, \] odkiaľ \[ a=\frac{F_{t}}{m}. \]

Poďme sa pozrieť na rotačný pohyb valca. Tu sa musíme rozhodnúť, vzhľadom na ktorý bod budeme písať pohybové rovnice. Vo všeobecnosti máme dve možnosti: pevný bod alebo ťažisko. Vzhľadom na to, že valec sa bude zrejme pohybovať, pevný bod nie je rozumná voľba, nakoľko by sa nám moment zotrvačnosti valca vzhľadom na tento bod menil. Zvoľme teda za referenčný bod ťažisko.

Keďže moment zotrvačnosti pri tejto voľbe nie je závislý na čase, možno písať pohybovú rovnicu rotačného pohybu v tvare \(J\epsilon=M\), kde \(J=\frac{1}{2}mr^{2}\) je moment zotrvačnosti valca vzhľadom na jeho ťažisko, \(\epsilon\) je jeho uhlové zrýchlenie a \(M\) je výsledný moment pôsobiacich síl. Tiažová a normálová sila majú zrejme nulový moment, preto \[ \frac{1}{2}mr^{2}\epsilon=F_{t}r. \] Odtiaľ \[ \epsilon=\frac{2F_{t}}{mr}. \]

Všetky doteraz napísané rovnice boli univerzálne platné. Poďme sa teraz pozrieť na jednotlivé prípady.

Začnime pásom pohybujúcim sa rovnomerne rýchlosťou \(u\). V takom prípade začne valec v momente kontaktu s pásom prešmykovať a popritom sa roztáčať.

Prešmykovanie znamená, že trecia sila je rovná \[ F_{t}=fN=fmg. \] Zrýchlenie valca je teda \[ a=fg \] a uhlové zrýchlenie \[ \epsilon=\frac{2fg}{r}. \]

Vidíme, že valec zrýchľuje a roztáča sa rovnomerne, preto jeho rýchlosť v čase rastie ako \[ v\left(t\right)=fgt \] a uhlová rýchlosť ako \[ \omega\left(t\right)=\frac{2fg}{r}t. \]

Prešmykovanie ustane v momente, keď rýchlosť bodu na povrchu valca v kontakte s pásom vyjadrená v laboratórnej sústave je rovná rýchlosti pásu. Táto rýchlosť je vektorovým súčtom translačnej rýchlosti valca \(v\) a obvodovej rýchlosti bodu na povrchu \(\omega r\). Keďže v najnižšom bode majú obe rovnaký smer, stačí písať obyčajný súčet a dostávame \[ v+\omega r\stackrel{!}{=}u. \]

Nech prešmykovanie ustane v čase \(\tau\). V takom prípade \[ u=fg\tau+\frac{2fg}{r}\tau r=3fg\tau. \] Odtiaľ \[ \tau=\frac{u}{3fg} \] a ustálená rýchlosť valca je potom \[ v=fg\tau=\frac{u}{3}. \]

Uvažujme teraz prípad zrýchľujúceho pásu so zrýchlením \(a_{p}\). Jeho rýchlosť teda rastie ako \[ u\left(t\right)=a_{p}t. \]

Ak pás zrýchľuje dostatočne rýchlo, v každom momente má väčšiu rýchlosť než bod na povrchu valca. V takom prípade valec po páse prešmykuje, a teda túto situáciu popisujú presne rovnaké rovnice ako v prípade už predom rozbehnutého pásu. To dáva celkom zmysel, nakoľko predom rozbehnutý pás je len limitný prípad, keď \(a_{p}\) ide do nekonečna. Aj v tomto prípade sa teda valec ustáli na rýchlosti \[ v=\frac{u}{3}. \]

Ale čo keď sa pás rozbieha pomaly? V takom prípade sa treba vrátiť k pôvodným rovniciam so všeobecnou trecou silou \(F_{t}\), pre ktorú zrejme platí \(F_{t}\leq fmg\).

Ak sa pás rozbieha pomaly, valec sa stíha roztáčať, takže nedochádza k prešmykovaniu. V takom prípade v každom momente platí, že bod na povrchu valca v kontakte s pásom má rovnakú rýchlosť ako pás. Matematicky zapísané \[ v\left(t\right)+\omega\left(t\right)r\stackrel{!}{=}u\left(t\right). \] Všetky rýchlosti poznáme a po ich dosadení dostávame \[ \frac{F_{t}}{m}t+\frac{2F_{t}}{mr}tr=a_{p}t. \] Odtiaľ môžeme vyjadriť neznámu treciu silu \[ F_{t}=\frac{a_{p}m}{3} \] a dosadiť ju do výrazu pre zrýchlenie valca.¹ Dostávame \[ a=\frac{a_{p}}{3}. \]

Vieme, že rýchlosť pásu sa ustáli na rýchlosti \(u\). Udeje sa tak za čas \[ T=\frac{u}{a_{p}}. \] Ustálená rýchlosť valca je preto \[ v=aT=\frac{u}{3}, \] čo je opäť identický výsledok.

Vo všetkých uvažovaných prípadoch sa valec ustáli na rýchlosti \(v=\frac{u}{3}\).