5. Trenie, pohľad zhora vzorové riešenie

Zadanie

Kubko našiel v Jimiho starom zakladači ďalšiu fakt kúl sústavu – na obrázku je pohľad na sústavu zhora. Spodný kvádrik má hmotnosť \(M\) a vrchná kocka hmotnosť \(m\). Medzi telesami je koeficient šmykového trenia \(f\). Spodný kvádrik začneme ťahať po koľajničkách silou veľkosti \(F\). Aké bude zrýchlenie (smer aj veľkosť) vrchnej kocky vzhľadom na koľajničky tesne po začatí pohybu? Kladky sú samozrejme bez trenia a nehybné, lano je dokonale pevné. Výškový rozdiel medzi telesami (a teda stočenie lana) ignorujte.

Tak poďme začať!

Aby sme dokázali určiť zrýchlenie akéhokoľvek telesa, potrebujeme poznať jeho hmotnosť a všetky sily, ktoré naň pôsobia. Hmotnosť kocky máme zadanú – \(m\). Zostáva teda už len zistiť, aké na ňu pôsobia sily. V smere nahor a nadol (z a do obrázka) pôsobia sily, ktoré sa vzájomne vyrovnajú, keďže sa kocka v tomto smere nehýbe. Sú to tiažová sila a normálová sila od kvádrika. Nebudú nás priveľmi zaujímať, poznamenajme, že obe majú veľkosť \(mg\), kde \(g\) je tiažové zrýchlenie.

Potom sú tu ešte sily, ktoré ležia v rovine obrázka. S tými to bude trochu ťažšie.

Prvá veľmi očividná je sila \(\vec{F}\), ktorou ťaháme za kvádrik. Tá síce nepôsobí na kocku, ale je zaujímavá svojím smerom a veľkosťou, s ktorými budeme ďalej pracovať. Táto sila udeľuje kvádriku nejaké zrýchlenie, avšak ako uvidíme, nie je jediná. Označme preto zrýchlenie kvádrika po koľajničkách ako \(a_0\).

Ďalšia očividná sila (tentoraz už pôsobí na kocku) je sila od lanka na kladkách. Keďže lanko je dokonale pevné, nikde sa nenaťahuje ani neskracuje. O koľko sa posunie kvádrik, o toľko potiahne lanko kocku (hoc iným smerom). Rovnako to teda musí byť aj s rýchlosťami – ako rýchlo sa ťahá kvádrik, tak rýchlo sa ťahá kocka. A aj so zrýchleniami. Teda sila od lanka na kladkách pôsobiaca na kocku bude mať veľkosť tiež \(a_0\), a smer bude mať nahor.

Tretia sila, hoc trochu skrytejšia, je trecia. Práve ona zabezpečuje, že sa kocka pohybuje s kvádrikom. V ďalšom budeme uvažovať len, že trenie je maximálne možné, teda že bude mať veľkosť normálovej sily krát súčiniteľ šmykového trenia \(f\), teda \(\left|F_t\right| = mgf\). Udeľule teda zrýchlenie \(gf\). Ale aký bude mať smer? Odpoveď poznáme – smer bude proti smeru vzájomnej rýchlosti trejúcich sa plôch. Lenže na to potrebujeme poznať, akým smerom zrýchľuje (a teda pohybuje sa, v prvom momente) kocka vzhľadom na kvádrik.

To nás núti prejsť do nami toľko milovanej neinerciálnej vzťažnej sústavy spojenej s kvádrikom. V tejto existuje práve jedna neinerciálna sila, a to \(-\vec{F}\). Tá má príslušné zrýchlenie veľkosti \(a_0\) v smere \(-\vec{F}\). Navyše má teleso zrýchlenie \(a_0\) v smere kolmo nahor. Vektorovým súčtom týchto zrýchlení bude zrýchlenie v smere šikmo nahor-doľava, keďže zrýchlenia majú rovnakú veľkosť, z Pytagorovej vety má ich súčet veľkosť \(a_0\sqrt2\). Práve toto je v prvom momente smer a veľkosť zrýchlenia kocky vzhľadom na kvádrik, a tak i smer rýchlosti vzhľadom na kvádrik. Tým pádom je to kýžený smer rýchlosti trejúcich sa plôch. Zrýchlenie dané trecou silou tak má spomínanú veľkosť a \(gf\) a smer opačný, ako vektorový súčet zvyšných dvoch síl, tak ako na obrázku (áno, ide o štyridsaťpäťstupňový uhol).

Presne opačná sila však musí pôsobiť aj na kvádrik! Z nej ale môže pôsobiť len zložka v smere koľajničiek. Tá má (vďaka štyridsaťpäťstupňovému uhlu) veľkosť \(\frac{gf}{\sqrt{2}}\). Teraz už vieme určiť zrýchlenie kvádrika, \(a_0 = \frac{F}{M + m} - \frac{gf}{\sqrt{2}}\).

Nuž, a teraz zostáva len vektorovo sčítať zrýchlenia sily od lanka na kladkách a trecej sily. Treciu silu môžeme rozložiť na zložku v smere sily \(\vec{F}\) a v protismere sily od kladiek, obe zložky budú mať rovnakú veľkosť \(\frac{gf}{\sqrt{2}}\).

Veľkosť výsledného zrýchlenia teda i z poslednej Pytagorovej vety bude \[ a = \sqrt{\left(a_0 - \frac{gf}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{gf}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{F}{M + m} - \frac{2gf}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{gf}{\sqrt{2}}\right)^2}. \]

Smer zrýchlenia je trochu ťažší, ale s trochou geometrie si ľahko uvedomíme, že uhol, ktorý výsledné zrýchlenie zviera so smerom sily \(\vec{F}\) je \[ \alpha = \frac{\pi}{4} - \arctan\left(\frac{\frac{F}{M+m} - \frac{2gf}{\sqrt{2}}}{\frac{gf}{\sqrt{2}}}\right). \]