2. Tečenie Patrikovou zaváraninou vzorové riešenie

Na úlohu sa dá pozrieť mnohými spôsobmi – napríklad vieme sledovať časový vývoj výšky hladiny v závislosti na polomere dierky v dne… Najjednoduchším prístupom je však pozrieť sa na stav, ktorý chceme dosiahnuť.

Pre výtok dierkou umiestnenou v hĺbke \(h\) pod hladinou existuje mnoho prístupov, ktorými dostaneme rovnaký výsledok, \(v = \sqrt{2gh}\), známy ako Torricelliho¹ vzorec. Niektorí ho možno poznáte priamo pod týmto názvom, no veľmi jednoducho sa dá odvodiť z Bernoulliho rovnice. A ak pôjdeme ešte o úroveň vyššie, vieme sa pozrieť na kinetickú a potenciálnu energiu vody, ktorá priteká a odteká, z toho je zas odvodená Bernoulliho rovnica… Ničmenej, my si vystačme s Torricelliho vzťahom.

Ak sa pozrieme na pohár s ustálenou výškou hladiny, musí platiť, že koľko vody priteká, toľko i odteká (aby sme nešetrili pojmami, ktoré znejú strašne učene, ide o rovnicu kontinuity…). Odtok dierkou o ploche \(s = \pi r^2\) rýchlosťou \(v\) vieme vyjadriť ako objemový prietok dierkou \(Q_{d} = sv = \pi r^2v\). Rýchlosť \(v\) ale poznáme: \(v = \sqrt{2gh}\) a teda \(Q_d = \sqrt{2gh}\pi r^2\).

Ak sa hladina nemá meniť, potom ale musí platiť \(Q_d = Q_v\). (Nezabudli ste? \(Q_v\) je zadaný objemový prítok pritekajúcej vody.) Napíšme si teda rovnicu: \[ \begin{aligned} Q_v &= \sqrt{2gh}\pi r^2, \\ r^2 &= \frac{Q_v}{\sqrt{2gh}\pi}, \\ r &= \sqrt{\frac{Q_v}{\sqrt{2gh}\pi}}. \\ \end{aligned} \]

Podarilo sa nám teda určiť \(r\)! Ale… bez závislosti na \(R\), \(h\) a \(h_0\)? Veru áno, ozaj to na počiatočnej hladine nakladanej uhorkovej vody ani na veľkosti pohára nebude závisieť. S akýmikoľvek parametrami totiž začneme, hladina \(h\) sa bude meniť až dovtedy, kým nebude platiť \(Q_d = Q_v\).