6. MagneTyč vzorové riešenie

Máme magnetické pole tvaru valca, ktorého os je zhodná s osou \(z\) v danej súradnicovej sústave. Magnetická indukcia \(\vec B\) tohto poľa je potom daná ako lineárna rastúca funkcia \(\vec B(\vec r)\), ktorej smer je zhodný so smerom \(\vec o\times \vec r\), kde \(\vec o\) je vektor v smere osi \(z\), začínajúci v počiatku súradnicovej sústavy, a \(\vec r\) je vektor udávajúci polohu. Z toho, čo máme zadané o \(\vec B(\vec r)\) je jasné, že ju môžeme zapísať ako \(\vec B(\vec r) = \alpha \cdot \left(\vec o\times \vec r\right)\) pre nejaké \(\alpha > 0\). Vektor \(\vec o\) je vektor v smere osi \(z\), čiže bude mať tvar \(\left(0,\, 0,\, o_z\right)\) pre nejaké \(o_z > 0\). Konštanty \(\alpha\) a \(o_z\) nemáme nijak bližšie určené a ani ich nebudeme už ďalej potrebovať v našich výpočtoch inak, ako v rámci \(B(\vec r)\), preto ich môžme hneď na začiatku zlúčiť do jednej konštanty, ktorá by bola ich súčinom a túto odteraz označovať \(o_z\).

Máme teda \[\begin{aligned} B(\vec r) &= \vec o \times \vec r\\ &= \left(0,\, 0,\, o_z\right)\times\left(r_x,\, r_y,\, r_z\right)\\ &= \left(-o_z \cdot r_y,\, o_z \cdot r_x,\, 0\right)\\ &= o_z\cdot \left(-r_y,\, r_x,\, 0\right). \end{aligned}\] Z toho je jasné, že magnetické pole vo valci bude mať smer obiehania okolo osi \(z\) a v smere osi \(z\) bude nulové.

Pozrime sa teraz na silu pôsobiacu na nabité častice v takomto magnetickom poli. V elektromagnetickom poli pôsobí na častice Lorentzova sila \(\vec F = q\left(\vec E + \vec v\times \vec B\right)\), kde \(q\) je náboj častice, \(\vec E\) je intenzita elektrického poľa, \(\vec v\) je rýchlosť častice a \(\vec B\) je magnetická indukcia. V našom prípade je intenzita elektrického poľa \(\vec E = 0\), pretože tam nemáme žiadny vodič pod prúdom alebo iný zdroj elektrického poľa, takže nám zostáva \[\begin{aligned} \vec F &= q \cdot \left(\vec v\times \vec B\right)\\ &= q \cdot \left(\vec v \times \left(o_z\cdot \left(-r_y,\, r_x,\, 0\right)\right)\right)\\ &= q \cdot o_z \cdot \left(\vec v \times \left(-r_y,\, r_x,\, 0\right)\right). \end{aligned}\]

Posledné neznáme v našich rovniciach, na ktoré sme sa ešte nepozreli, sú poloha a rýchlosť častice. O počiatočnej polohe vieme len to, že častica bude vo vzdialenosti \(r_0\) od osi valca. Keďže zatiaľ sa celá úloha ukazuje ako invariantná na otočenie okolo osi \(z\) alebo posun po osi \(z\), môžeme si ako počiatočnú polohu častice zvoliť \(r_0 = \left(r_0,\, 0,\, 0\right)\). O počiatočnej rýchlosti vieme, že je rovnobežná s osou \(z\) ale s opačným smerom, preto \(v_0 = \left(0,\, 0,\, v_{0_z}\right)\) pre nejaké \(v_{0_z} < 0\).

Môžeme si všimnúť, že takto je \(y\)-ová súradnica pre polohu aj pre rýchlosť nulová. Navyše, ak do sily \(\vec F\) dosadíme túto polohu a rýchlosť s nulovými \(y\)-ovými súradnicami, tak aj sila v \(y\)-ovom smere bude nulová. Hľa: \[\begin{aligned} \vec F &= q \cdot o_z \cdot \left(\vec v \times \left(-r_y,\, r_x,\, 0\right)\right)\\ &= q \cdot o_z \cdot \left(\left(v_x,\, 0,\, v_z\right) \times \left(0,\, r_x,\, 0\right)\right)\\ &= q \cdot o_z \cdot \left(-v_z r_x,\, 0,\, v_x r_x\right)\\ &= q \cdot o_z \cdot r_x \left(-v_z,\, 0,\, v_x\right). \end{aligned}\]

Naozaj \(y\)-ová súradnica sily zostala nulová, čo nám ukazuje, že častica sa bude celý čas hýbať v rovine \(y = 0\) a meniť sa bude len \(r_x\) a \(r_z\). Pohyb častice teda vieme vykresliť na rovinu \(y = 0\) a nepotrebujeme riešiť žiadne 3D.

Poďme sa pozrieť, čo ešte z rovníc vieme vyčítať o krivke, po ktorej sa bude častica pohybovať. Vektor sily \(\vec F\) a vektor rýchlosti \(\vec v\) sú na seba kolmé, čo spôsobí, že veľkosť rýchlosti častice sa počas pohybu nebude meniť a meniť sa bude len jej smer (pozri rovnomerný pohyb po kružnici). Táto nemennosť \(|\vec v| = \sqrt{v_x^2 + v_z^2}\) znamená, že ak by sme z \(\vec F\) odstránili \(r_x\), tak veľkosť sily pôsobiacej na časticu by sa tiež nemenila a bola by stále kolmá na jej rýchlosť, čo by spôsobilo, že častica by sa v magnetickom poli pohybovala po kružnici.

Prítomnosť \(r_x\) v tomto vzorci nám potom napovedá, že čím ďalej od osi valca častica bude, tým rýchlejšie sa bude meniť jej smer (dráha bude viac zakrivená) a naopak, čím bližšie sa k osi dostane, tým menej sa bude jej dráha zakrivovať. Tiež môžeme nahliadnuť, že smer, do ktorého bude častica zatáčať, sa zmení iba pri prechode osou valca (Pohyb je plynulý, takže musí pri prechode z otáčania sa jedným smerom na opačný v nejakom momente ísť rovno, čiže s nulovým zrýchlením, čo sa stane pri prechode osou, keď \(r_x = 0\). Zmení sa tu aj znamienko pri \(r_x\), čo spôsobí zmenu smeru.).

Ak sa pozrieme do času \(t = 0\) a dosadíme do \(\vec F\) konkrétne hodnoty, získame \(\vec F_0 = e \cdot o_z \cdot r_{x_0} \left(-v_{z_0},\, 0,\, 0\right)\). Na prvý pohľad vidíme, že \(\vec F_0\) pôsobí v \(x\)-ovom smere. Konštanty \(e\) a \(v_z\) sú záporné, zatiaľ čo ostatné sú kladné, takže \(\vec F_0\) pôsobí v zápornom \(x\)-ovom smere, takže elektrón sa bude otáčať smerom k osi. Tu sa môžu stať dve veci:

1. Elektrón zvládne zmeniť smer o \(\ang{180}\) skôr ako dosiahne os valca a začne sa otáčať smerom od osi valca. V tomto prípade zvyšok otočenia o ďalších \(\ang{180}\) má istú spätnú symetriu k prvej časti pohybu, takže vieme spraviť učený odhad a povedať, že elektrón nadobudne opäť počiatočný smer v presne \(r_0\) vzdialenosti od osi valca a pritom sa bude nachádzať opačným smerom než vyrážal (bližšie pri osi sa otáča pomalšie, takže v opačnom smere trávi viac času). Vieme si to predstaviť ako taký krúživý pohyb s celkovým posunom dozadu (ako keď sa na pružinku z pera pozriete šikmo).

2. Elektrón prejde skôr osou valca ako by zvládol zmeniť smer o celých \(\ang{180}\). V takom prípade sa pred osou elektrón prestáva točiť k nej, v momente, keď prejde cez os pôjde rovnomerne priamočiaro a za osou sa začne zase točiť k osi (ale tentokrát opačným smerom, lebo už je z druhej strany osi). Pohyb elektrónu za osou má tiež istú symetriu k pohybu pred ňou. Je to daná tým, že v rovnakej vzdialenosti od osi na jednej a druhej strane má rovnakú \(v_z\), ale opačnú \(v_x\), a teda čo ho predtým v \(x\)-vom smere spomaľovalo, ho teraz zrýchľuje a naopak. Zároveň sa ale vymenili aj smery od a k osi, takže situácia sa akoby preklopila cez os. Elektrón v tomto prípade môže chodiť z jednej strany osi \(z\) na druhú (ako napríklad funkcia \(\sin(z)\)).

Máme teda nejaký odhad toho, ako by sa častica mohla hýbať a vieme aká sila \(\vec F = q \cdot o_z \cdot r_x \left(-v_z,\, 0,\, v_x\right)\) na ňu bude pôsobiť v ľubovoľnom momente. Z toho potom môžeme odvodiť vzťahy, ktoré budeme následne nahadzovať, do našej simulácie:

\[\begin{aligned} r_0 &= \left(r_{x_0},\, 0,\, 0\right)\\ v_0 &= \left(0,\, 0,\, v_z\right)\\ a_i &= \frac{e o_z r_{x_i} }{m_e} \cdot \left(-v_{z_i},\, 0,\, v_{x_i}\right)\\ \end{aligned}\] \[\begin{aligned} r_{ i + 1 } &= r_i + v_i \mathrm{d}t \\ v_{i+1} &= v_i + a_i \mathrm{d}t. \end{aligned}\]

Nasledujúce trajektórie vznikli simuláciou, pričom každá prislúcha inej počiatočnej \(r_0\). Všetky z týchto trajektórií zobrazujú pohyb elektrónu v priebehu \(\SI{3}{\second}\). Tiež je dobré si všimnúť, že všetky sú rovnako dlhé (lebo sme mali konštantnú rýchlosť, len smer sa menil). Ako vstupné údaje som okrem toho použila \(\mathrm{d}t = \SI{e-3}{\second}\), \(v=\SI{1}{\meter\per\second}\) a \(o_z = \SI{e-10}{\kilo\gram\per\second\squared\per\meter\per\ampere}\). Dráhy rovnakých tvarov sa dajú získať menením počiatočnej rýchlosti alebo konštanty \(o_z\).

Z týchto grafov vidíme, že s počiatočnou vzdialenosťou \(\SI{0.05}{\meter}\), bola perióda približne \(\SI{1}{\second}\) a ak túto vzdialenosť necháme rásť, rásť nám bude aj perióda, a to až do momentu, kedy elektrón prestane prechádzať osou valca. V tom momente sa perióda zmenší na polovicu (prestanú sa striedať časti pohybu naľavo a napravo od osi, pohyb, ktorý by sme predtým prisúdili polperióde, zrazu tvorí celú periódu) a začne naspäť klesať.

Prečo je to tak? Pre prostredné vzdialenosti je to ťažko určiť, nakoľko tieto trajektórie sú menej stabilné. Zo vzorca \(\vec F = q \cdot o_z \cdot r_x \left(-v_z,\, 0,\, v_x\right)\) si odvodíme vzorec pre zrýchlenie \(\vec a = \frac{q \cdot o_z \cdot r_x}{m_e}\left(-v_z,\, 0,\, v_x\right)\), ktorý nemá pekné všeobecné riešenie.

Ak však v tomto vzorci predpokladáme niektoré z okrajových podmienok, vieme získať viac. Zoberme si situáciu, keď počiatočné \(r_0\) je veľmi malé voči \(v_0\). Potom zjavne počas celého pohybu bude \(v_z\) skoro konštantná a blízka \(v_0\). To vytvorí \(a_x = \frac{-q \cdot o_z \cdot v_z \cdot r_x }{m_e}\), kde jediná výrazne sa meniaca premenná je \(r_x\). Môžeme teda tento pohyb aproximovať kmitavým harmonickým pohybom s periódou \(2\pi\sqrt{\frac{m_e}{q \cdot o_z \cdot v_0}}\)

Zoberme si aj situáciu z opačného konca spektra. Majme počiatočné \(v_0\), ktoré je veľmi malé voči \(r_0\). Potom \(r_x\) sa počas pohybu bude meniť len veľmi málo, nakoľko dostredivé zrýchlenie vytvárané magnetickou indukciou ho stočí späť skôr, ako sa zvládne priblížiť k osi. Ak zoberieme \(r_x\) konštantné, tak ho môžeme nahradiť \(r_0\) a zo vzorca \(\vec a = \frac{q \cdot o_z \cdot r_0}{m_e}\left(-v_z,\, 0,\, v_x\right)\) vidíme, že \(\vec a\) je konštantne veľké (lebo \(v\) bola konštantne veľká) a kolmé na \(v\). Ide teda o rovnomerný pohyb po kružnici, ktorého dostredivé zrýchlenie bude všade rovnako veľké \(|a_r| = \frac{q \cdot o_z \cdot r_0}{m_e}\sqrt{v_z^2 +v_x^2}\). Elektrón sa teda bude pohybovať po kružnici s polomerom \(R = \frac{v^2}{a} =\frac{v_0 m_e}{q o_z r_0}\) a perióda jeho pohybu bude \(T = 2\pi \frac{R}{v} = 2\pi \frac{m_e}{q o_z r_0}\).