6. Bob the builder vzorové riešenie

Zadanie

Bob staviteľ si položil veľkú betónovú kocku s hranou dĺžky \(a\) a hmotnosťou \(m\) na dopravníkový pás. Ten končí tak, že kváder z neho plynule prejde na stojacu plošinku. Koeficient šmykového trenia medzi kockou a pásom či plošinkou je \(f\). Bob nastavil rýchlosť pásu \(v\) na najmenšiu takú rýchlosť, aby sa betónová kocka dostala celá na plošinku. Ako dlho trvalo kocke zastaviť od momentu, kedy sa jej prvá časť ocitla na plošinke?

Predstavme si najprv, čo očakávame, že sa s kockou stane: chvíľu sa povezie na bežiacom pásme, a keď sa dostatočne vytrepe na plošinku, začne brzdiť, až úplne zastaví. Počas tohto deja na ňu budú pôsobiť dve sily: trecia sila od bežiaceho pása \(F_\rightarrow\) a trecia sila od plošinky \(F_\leftarrow\).

Trecia sila má zopár vtipných vlastností – napríklad nikdy nevybudzuje pohyb. Inými slovami, pás na kocku nebude pôsobiť väčšou trecou silou než plošinka, pokiaľ sa bude kocka pohybovať rýchlosťou \(v\) (teda voči pásu stáť), a plošinka nebude na kocku pôsobiť väčšou trecou silou než pás od chvíle, keď kocka zastaví.

Druhá časť predošlej vety znamená, že maximálnu vzdialenosť kocka dosiahne v okamihu svojho prvého zastavenia, a od toho okamihu zotrvá v pokoji – prvá časť predošlej vety je však o niečo zložitejšia. Aby sme pochopili jej význam, musíme si vyjadriť maximálne veľkosti oboch trecích síl. Vieme, že maximálna veľkosť trecej sily povrchu na kocku, ktorá na ňom spočíva celá, je \(mgf\), a tiež vieme, že táto maximálna veľkosť je priamo úmerná veľkosti styčnej plochy kocky a povrchu. (Keďže kocka pôsobí všade rovnakým tlakom. Kebyže je to čudnejší tvar, napríklad pologuľa, bolo by to zložitejšie.)

Zaveďme si teda súradnicu \(x\), ktorá vyjadruje vzdialenosť medzi okrajom plošinky a stredom spodnej hrany kocky rovnobežnej so smerom pohybu kocky.

Potom očividne \[F_{\rightarrow max}=mgf\frac{\frac{a}{2}-x}{a}, F_{\leftarrow max}=mgf\frac{\frac{a}{2}+x}{a}\]

Spomeňme si, že trecia sila nevybudzuje pohyb. Pokiaľ \(F_{\leftarrow max}\leq F_{\rightarrow max}\), pre skutočné trecie sily bude platiť \(F_\leftarrow=F_\rightarrow\) a kocka zotrvá v pohybe rýchlosťou \(v\). Akonáhle ale nastane \(F_{\leftarrow max}> F_{\rightarrow max}\), kocka začne spomaľovať. Ako vieme rýchlo zistiť, do tejto dynamickej fázy sa dostane, keď \(x>0\), teda polovica kocky bude na plošinke. Od chvíle, keď sa kocka dotkne plošinky, po začiatok brzdenia prejde čas \(t_0=\frac{a}{2v}\). Keď bude kocka brzdiť, obe trecie sily nadobudnú svoje maximálne hodnoty, a teda pohybová rovnica \(F=ma\) pre kocku bude vyzerať nasledovne:

\[F_\rightarrow-F_\leftarrow=-2mgf\frac{x}{a}=m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\]

V tomto na prvý pohľad zbadáme rovnicu harmonického oscilátora, ktorej riešením je funkcia času:

\[x(t)=A\sin{\sqrt{2\frac{gf}{a}}t}+B\cos{\sqrt{2\frac{gf}{a}}t}\]

Pozrime sa na okrajové podmienky našej rovnice: V čase \(t=\SI{0}{\second}\) práve začala fáza brzdenia, teda

\[x(\SI{0}{\second})=0,v_{\text{kocka}}(\SI{0}{\second})=\left.{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\right|_{t = \SI{0}{\second}}=v\]

Z prvej podmienky okamžite vidíme, že \(B=0\). Aby sme využili druhú, zderivujme \(x(t)\) podľa času, aby sme vyjadrili rýchlosť kocky \(v_{\text{kocka}}\) ako funkciu času, a pozrime sa na jej hodnotu, keď \(t=\SI{0}{\second}\):

\[\begin{eqnarray*} v_{\text{kocka}}(t)&=&\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}\\ v_{\text{kocka}}&=&A\sqrt{2\frac{gf}{a}}\cos{\sqrt{2\frac{gf}{a}}t}\\ v_{\text{kocka}}(\SI{0}{\second})&=&A\sqrt{2\frac{gf}{a}}\\ v&=&A\sqrt{2\frac{gf}{a}}\\ A&=&v\sqrt{\frac{a}{2gf}} \end{eqnarray*}\]

Vidíme teda, že amplitúda nášho harmonického oscilátora je \(v\sqrt{\frac{a}{2gf}}\). Keďže však trecia sila nikdy nevybudzuje pohyb, vieme, že po dosiahnutí prvého maxima výchylky sa náš „oscilátor“ uvedie do pokoja, kde zotrvá. My chceme, aby toto nastalo, keď \(x\geq \frac{1}{2}a\), keďže vtedy je kocka celá na plošinke. Keďže amplitúda je úmerná rýchlosti pásu, najmenšia rýchlosť pásu \(v\), pre ktorú táto podmienka bude platiť, bude taká, že \(x=\frac{1}{2}a\). Teda

\[\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}a&=&v\sqrt{\frac{a}{2gf}}\\ v&=&\sqrt{\frac{gfa}{2}} \end{eqnarray*}\]

Vieme teda už rýchlosť pásu, stačí nám už len zistiť, ako dlho bude trvať fáza brzdenia. Inými slovami, kedy dosiahne výraz \(\sin{\sqrt{2\frac{gf}{a}}t}\) maximum (pre najmenšie kladné \(t\))? Nuž, keď

\[\sqrt{2\frac{gf}{a}}t=\frac{\pi}{2}\]

Inými slovami, keď

\[t=\pi\sqrt{\frac{a}{8gf}}\]

Už k tomu len prirátajme čas od dotyku kocky a plošinky po začiatok brzdenia a obdržíme výsledok

\[T=t_0+t=\sqrt{\frac{a}{2gf}}+\pi\sqrt{\frac{a}{8gf}}=\sqrt{\frac{a}{2gf}}\left(1+\frac{\pi}{2}\right).\]