5. Mravec mravec, ide ti koniec! vzorové riešenie

Zadanie

Ferdo mravec sa vybral na romantický splav pozdĺž Hrona v zápalkovej škatuľke. Čo sa však stalo – nestalo, Ferdo nabúral do prekážky a zostal svojou kanojkou o ňu zakliesnený bokom tak, že sa vzhľadom na breh nehýbal. Na dne kanojky sa mu spravila dierka, do kanojky mu začala vtekať voda, začala sa ponárať, až sa úplne potopila. V tomto okamihu znamenala pre Ferda schopnosť plávať otázku života a smrti. Koľko času od vzniku diery teda Ferdovi zostávalo, aby sa naučil plávať? Dierka na podlahe má priemer \(d = \SI{1}{\milli\metre}\). Škatuľka má výšku \(h = \SI{2}{\centi\metre}\) a jej podlaha má obsah \(S = \SI{20}{\centi\metre\squared}\). Ferdo aj s krabičkou váži \(m = \SI{1}{\gram}\). Hron je takou riekou, že rýchlosť jej tečenia je blízko hladiny lineárne závislá od hĺbky a to tak, že na hladine tečie s rýchlosťou \(v_0=\SI{0,5}{\metre\per\second}\) a v hĺbke \(x\) tečie rýchlosťou \(v_0-\frac{x}{\SI{10}{\second}}\).

Pozn.: Úlohu odporúčame riešiť s použitím výpočtovej techniky.

Prvá rozumná vec, ktorú by sme mali o Ferdovej kanojke zistiť, je hĺbka jej počiatočného ponoru, t.j. v čase, keď sa zakliesnila, ale ešte v nej nebola žiadna voda. A keď už budeme pri tom, prečo si túto hĺbku nespočítať rovno pre ľubovoľný moment po zakliesnení. Kanojka je v každom momente v takej hĺbke (výške), aby sa tiažová sila potápajúca kanojku rovnala vztlakovej sile nadnášajúcej kanojku, t.j. \(F_{g} = F_{vz}\).

Tiažová sila pôsobiaca na kanojku aj s Ferdom je \[F_g = (m_1 + m_2)g\text{,}\] kde \(m_1\) je hmotnosť Ferda aj s kanojkou a \(m_2\) hmotnosť vody natečenej do kanojky. Vztlaková sila nadnášajúca kanojku je \(F_{vz} = Sp_h\), kde \(p_h\) je tlak v hĺbke \(h\). Na výpočet tlaku v hĺbke \(h\) nám však vzorec \(p = \rho g h\) stačiť nebude. Voda v Hrone totiž tečie, zatiaľ čo Ferdova kanojka vzhľadom na breh stojí. Na pomoc si preto vezmeme Bernoulliho rovnicu. Tá nám hovorí, že ak kvapalina prúdi ustálene, tak súčet \(\frac{p}{\rho} + \frac{v^2_0}{2} + gh\) je na každom jej mieste rovnaký. Nastavme si \(h = 0\) na hladine. Potom súčet na hladine bude \(\frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gh = \frac{v_0^2}{2}\). Súčet v hĺbke \(h\) má byť rovný súčtu na hladine, čiže \[ \frac{v_0^2}{2} = \frac{p_h}{\rho} + \frac{v_h^2}{2} + gh = \frac{p_h}{\rho} + \frac{(v_0 - h/\SI{10}{\second})^2}{2} + gh\text{.}\] Následne z toho vyjadrený tlak bude \[ p_h = \rho \left( \frac{v_0^2 - (v_0 - h/\SI{10}{\second})^2}{2} - gh\right) = \rho \left(v_0 h/\SI{10}{\second} - \frac{(h/\SI{10}{\second})^2}{2} - gh\right)\text{.}\] Vztlaková sila pôsobiaca na kanojku ponorenú do hĺbky \(h\) teda bude \[\begin{align*} F_{vz} &= Sp_h\\ &= S\rho\left(v_0 h/\SI{10}{\second} - \frac{(h/\SI{10}{\second})^2}{2} - gh\right)\text{.} \end{align*}\] Spomeňme si teraz, že chceme aby \(F_{g} = F_{vz}\) a dosaďme: \[\begin{align*} F_{g} &= F_{vz}\\ (m_1+m_2)g &= S\rho (v_0 h/\SI{10}{\second} - \frac{(h/\SI{10}{\second})^2}{2} - gh)\\ \end{align*}\] Tu vidíme, že jediná neznáma v tomto vzťahu je \(h\) a navyše je to kvadratická rovnica pre \(h\). Upravíme ju teda a zistíme jej korene. \[\begin{align*} 0 &= h^2 + h (\SI{-20}{\second} \cdot v_0 + \SI{200}{\second\squared} \cdot g) + \frac{\SI{200}{\second\squared}\cdot (m_1+m_2)g }{S\rho}\\ h &= \SI{10}{\second} \cdot v_0 - \SI{100}{\second\squared} \cdot g \pm \sqrt{(\SI{10}{\second} \cdot v_0 - \SI{100}{\second\squared} \cdot g)^2 - \frac{\SI{200}{\second\squared}\cdot (m_1+m_2)g }{S\rho}} \end{align*}\]

Ak za \(m_2\) v tomto vzorci dosadíme \(0\), získame hĺbku ponoru lodičky v čase, keď ešte v kanojke nie je voda, t.j. v momente keď sa zakliesnila. Za ostatné premenné dosaďme podľa zadania \(v_0 = \SI{50}{\centi\meter}\), \(g = \SI{1000}{\centi\meter\per\second\squared}\), \(S = \SI{20}{\centi\meter\squared}\), \(m = \SI{2}{\gram}\) a \(\rho = \SI{1}{\gram\per\centi\meter\cubed}\). Týmto získame dva výsledky, z ktorých jeden bude hĺbka ponoru v momente, keď sa kanojka zakliesnila.

Získané výsledky sú približne \(\SI{-198999}{\centi\meter}\) a \(\SI{-0.1}{\centi\meter}\). Najprv si všimnime, že oba výsledky sú záporné, to je fajn, keďže hĺbke (výške) \(h\) sme \(0\) nastavili na hladinu, t.j. pod hladinou je výška záporná. Ďalej sedliacky rozum našepkáva, že pri hĺbke skoro \(\SI{-2}{\kilo\meter}\) by kanojka aj s Ferdom už dávno neplávala na hladine. Oproti tomu ponor \(\SI{-0.1}{\centi\meter}\) je pri výške boku kanojky \(\SI{2}{\centi\meter}\) úplne v poriadku, a teda \[ h = \SI{-99500}{\centi\meter} + \sqrt{(\SI{-99500}{\centi\meter})^2 - \SI{10000}{\centi\meter\squared\per\gram}\cdot (m_1 + m_2)}\] \[ h = \SI{-99500}{\centi\meter} + \sqrt{\SI{9900230000}{\centi\meter} +\SI{10000}{\centi\meter\squared\per\gram} \cdot m_2}\text{.}\] Teraz už poznáme ponor kanojky v závislosti od hmotnosti vody natečenej do vnútra. Ďalším krokom by preto malo byť zistiť, akou rýchlosťou bude do kanojky vtekať voda. Tu si opäť zavoláme na pomoc Bernoulliho rovnicu. Ale pozor, okolo kanojky už nejde o nevírové prúdenie, preto ju tentokrát nepoužijeme na celý objem vody s ktorým počítame. O Bernoulliho rovnici však vieme, že platí aj vo vírovom prúdení, ak je ustálené a uvažujeme pritom len kvapalinu pozdĺž jednej z prúdnic. Zoberme si teda jednu z prúdnic vtekajúcich do vnútra kanojky (tu prúdenie nie je síce úplne ustálené, avšak zmeny v prúdniciach budú dostatočne malé na to, aby išlo o dobrú aproximáciu). Na tej už Bernoulliho rovnica platiť bude. Zároveň môžme nahliadnuť, že táto prúdnica ide, predtým ako sa dostane ku kanojke, aj časťou rieky, kde prúdenie ešte považujeme za nevírové. Potom je na nej súčet Bernouliho rovnice rovnaký ako bol na hladine a teda \[ \frac{v_0^2}{2} = \frac{p_{h_2}}{\rho} + \frac{v_v^2}{2} + gh\text{,}\] kde \(p_{h_2}\) je tlak spôsobený vodou, ktorá už natiekla do kanojky. Potom \(p_{h_2} = \rho g h_2\), kde \(h_2 = \frac{m_2}{S\rho}\) je výška hladiny vody v kanojke vzhľadom na dno, t.j. táto bude narozdiel od \(h\) kladná. Z toho vieme odvodiť, že \[\begin{align*} v_v &= \sqrt{v_0^2 - \frac{2p_{h_2}}{\rho} - 2gh}\\ & = \sqrt{v_0^2 - 2gh_2 - 2gh}\\ & = \sqrt{v_0^2 - 2g\left(\frac{m_2}{S\rho} + h\right)} \end{align*}\]

Rýchlosť vtekania vody teda závisí od okrem zo zadania pevne daných veličín, len od hmotnosti vody v kanojke \(m_2\) a hĺbky ponoru \(h\). Hĺbka ponoru \(h\) však závisí len od hmotnosti vody v kanojke a teda po dosadení za \(h\) bude rýchlosť závisieť len od \(m_2\).

Označme si hmotnostný tok vody cez dierku ako \(Q\), potom \(Q = \frac{\pi d^2 v_v }{4}\) a platí vzťah \[\begin{align*} m_{2,T} &= \int_0^T Q ~ \mathrm{d}t \\ &= \int_0^T \frac{\pi d^2}{4} v_v ~\mathrm{d}t \\ &= \int_0^T \frac{\pi d^2}{4}\sqrt{v_0^2 - 2g\left(\frac{m_{2,T}}{S\rho} + h\right)} ~\mathrm{d}t\text{.} \end{align*}\] Keď dosadíme \(h = \SI{-99500}{\centi\meter} + \sqrt{\SI{9900230000}{\centi\meter} +\SI{10000}{\centi\meter\squared\per\gram} \cdot m_2}\) získame \[ m_{2,T} = \int_0^T \frac{\pi d^2}{4}\sqrt{v_0^2 - 2g(\frac{m_{2,T}}{S\rho} + \SI{-99500}{\centi\meter} + \sqrt{\SI{9900230000}{\centi\meter}+ \SI{10000}{\centi\meter\squared\per\gram} \cdot m_{2,T} )}} ~\mathrm{d}t \] čo je nie veľmi pekná diferenciálna rovnica. Ako sa však spomína v zadaní, túto riešiť nepotrebujeme. Namiesto toho si pomôžeme nejakou tou výpočtovou technikou ¹.

A čo si to vlastne chceme naprogramovať? Poznáme vzťah pre hĺbku ponoru v závislosti od hmotnosti vody v kanojke \[ h = \SI{-99500}{\centi\meter} + \sqrt{\SI{9900230000}{\centi\meter} +\SI{10000}{\centi\meter\squared\per\gram} \cdot m_2}\text{,}\] vzťah pre rýchlosť vtekania vody v závislosti od hĺbky ponoru a hmotnosti vody v kanojke \[ v_v = \sqrt{v_0^2 - 2g(\frac{m_2}{S\rho} + h)}\text{.}\]

Aby sme tento kruh uzavreli, potrebujeme nejak z rýchlosti vody určiť, koľko vody natečie do kanojky. Vieme, že \(m_{2,T} = \int_0^T \frac{\pi d^2 }{4} v_v ~\mathrm{d}t\), ale toto predsa počítať nechceme.

Môžeme si však všimnúť, že hmotnosť vody v kanojke sa musí v čase meniť plynule (pretože voda do kanojky priteká časom postupne). Potom sa \(m_2\) vo vzťahu pre \(h\) mení plynule a teda aj \(h\) sa musí v čase meniť plynule. Podobne potom \(h\) a \(m_2\) sa menia plynule vo vzťahu pre \(v_v\) a teda aj \(v_v\) sa mení v čase plynule.

Z toho, že rýchlosť nám v čase neskáče, ale mení sa plynule vyplýva, že hmotnosť vody natečenej do kanojky za prvú sekundu môžeme aproximovať tak, že okamžitú rýchlosť \(v_v\) nahradíme konštantnou rýchlosťou \(v_0\) z času \(\SI{0}{\second}\). Potom \[ m_{2,\SI{1}{\second}} \doteq \int_0^{\SI{1}{\second}} \frac{\pi d^2}{4} v_0 ~\mathrm{d}t = \frac{\pi d^2}{4} v_0 \cdot \SI{1}{\second}\text{.} \] Následne by sme mohli hmotnosť vody natečenej do kanojky za druhú sekundu spočítať tak, že spočítame novú hĺbku ponoru (voda natečená do kanojky nám ju trochu ponorí) a z nej novú rýchlosť natekania vody na začiatku prevej sekundy \(v_{\SI{1}{\second}}\) a z nej opäť aproximujeme hmotnosť vody natečenej v druhej sekunde, atď. (Áno, teraz prichádza tá chvíľa, keď by bolo už vhodné, si to túkať skôr do Excelu ako do bežnej kalkulačky. Veď robiť tento výpočet ručne by bolo naozaj náročné, kto vie kedy to dotečie, preto by bolo lepšie proces automatizovať a naprogramovať si to).

Pri výpočte \(v_1\) si môžeme všimnúť, že nárast hmotnosti kanojky za prvú sekundu spôsobil nárast rýchlosti vtekania vody. Z toho môžeme usúdiť, že priemerná rýchlosť vtekania vody počas prvej sekundy bola vyššia ako \(v_0\) a teda, že aj množstvo natečenej vody by pri presnom výpočte bolo tiež väčšie. Na druhej strane, vidíme, že rýchlosť sa zmenila z počiatočnej \(v_0=\SI{50.01}{\centi\meter}\) na \(v_1=\SI{50.03}{\centi\meter}\). To nie je zase až tak veľa.

Napriek tomu by sa však dalo argumentovať, že zvyšujúca sa hmotnosť kanojky s vodou vnútri nám zvýši rýchlosť vtekania vody a to zase spätne zvýši koľko vody bude v kanojke, čiže tieto dva procesy sa budú navzájom podporovať.

Aby sme aj tento proces vzájomného ovplyvňovania sa rýchlosti vtekania vody a prírastku vody v kanojke čo najlepšie zachytili, môžeme si interval s ktorým počítame rozdeliť na menšie kusy. Po poradí od prvého v každom z nich najprv spočítame prírastok vody do kanojky za daný interval a následne, v ďalšom intervale, už počítame s kanojkou zaťaženou aj vodou z predchádzajúceho intervalu. Zjavne takýto výsledok je presnejší.

Skúsme si teda porovnať, ako nám narastie rýchlosť za prvú sekundu, ak si ju rozdelíme na intervaly dĺžky \(\SI{0.5}{\second}\), \(\SI{0.2}{\second}\),\(\SI{0.1}{\second}\) alebo \(\SI{0.01}{\second}\). Prekvapivo rozdiel nie je vôbec veľký, ba skôr naopak. Rozdiel medzi rýchlosťami v prvej sekunde počítanými s intervalmi veľkosti \(\SI{1}{\second}\) a \(\SI{0.01}{\second}\) má prvú efektívnu cifru až na ôsmom mieste za desatinou čiarkou. Ak tento pokus zopakujeme pre rýchlosti v 10. sekunde, rozdiel rýchlostí bude mať prvú efektívnu cifru na 7. mieste za desatinou čiarkou. To pre nás znamená, že aj keď sa narásť hmotnosti vody v kanojke a rýchlosť vtekania do nej tvoria previazaný systém, tento systém je stabilný a teda naša aproximácia bude celkom presná.

A že koľko nám to teda vyšlo? S intervalmi dĺžky \(\SI{1}{\second}\) sa výsledok javil niekde medzi \(\SI{92}{\second}\) až \(\SI{93}{\second}\). Pri desatine sekundy bol medzi \(\SI{92.4}{\second}\) a \(\SI{92.5}{\second}\) a pri stotine medzi \(\SI{92.49}{\second}\) a \(\SI{92.5}{\second}\). Môžeme teda Ferdovi oznámiť, že na to aby sa naučil plávať mu zostáva len niečo okolo \(\SI{92.49}{\second}\).