3. Hydrolevitácia vzorové riešenie

Zadanie

Patrik ašpiruje stať sa kúzelníkom. Ako správny fyzik však do tohoto umenia pridáva fyziku – predvádza hydrolevitáciu. Na zem upevní hadicu, z ktorej strieka zvislo nahor voda s objemovým prietokom \(Q\). Voda vytvorí ustálený vertikálny prúd, ktorý dosahuje do výšky \(H\). Potom Patrik vloží do prúdu prekážku tvaru kužeľa tak, že od nej voda na všetky strany tryská pod uhlom \(\alpha\) voči pôvodnému smeru. Prekážka má hmotnosť \(m\). V akej výške sa ustáli prekážka?

Na úvod tejto úlohy sa zamyslime, ako sa sústava správa energeticky. Kužeľ sa nehýbe, z čoho vyplýva, že nekoná prácu, no taktiež, že na ňom práca nie je konaná. Keďže platí zákon zachovania energie (ZZE), tak celková energia vody bude stále rovnaká.

Avšak, ak je energia vody stále rovnaká, znamená to predsa, že tesne pred a tesne po odklonení vody, kedy je rozdiel \(h\) zanedbateľne malý, musí mať voda rovnakú kinetickú energiu, a teda rovnakú rýchlosť. (pod \(m\) myslíme malý element vody)

\[\begin{aligned} E = E_{k} + E_{p} \Rightarrow& E_{1} = E_{k_1} + mgh\\ \Rightarrow& E_{2} = E_{k_2} + mgh \end{aligned}\]

a keďže \(E_{1} = E_{2}\) tak

\[ E_{k_1} = \frac{mv^2}{2} = E_{k_2} \]

Vieme, do akej výšky sa voda dostane, keď nemá v ceste prekážku, takže vieme vyrátať celkovú energiu vody. Zo ZZE vieme, že táto energia bude stále rovnaká, a to aj vo výške \(h\), v ktorej bude hračka levitovať.

\[ E_{\text{H}_{2}\text{O}} = mgH = mgh + \frac{mv^2}{2} \]

Z tohto vzťahu si vieme vyjadriť rýchlosť vody, ktorá naráža do hračky.

\[v=\sqrt{2g(H-h)}\qquad(1)\]

Vieme, že je hračka v pokoji a teda poďla 1. Newtonovho zákona musí byť súčet síl rovný \(0\). Prúd vody pôsobí nejakou silou \(F_{\text{H}_{2}\text{O}} = F_g\). Vidíme, že po zrážke je hybnosť vody iná, a preto niečo muselo spôsobiť túto zmenu. (Nezmení sa veľkosť hybnosti vody ale jej smer) Hračka pôsobí podľa 3. Newtonovho zákona na vodu rovnako veľkou reakciou \(F'_{\text{H}_{2}\text{O}}\), a preto môžeme povedať, že zmena hybnosti vody je krytá reakciou prekážky. Z toho vidíme: \[\begin{aligned} F_{\text{H}_{2}\text{O}}-F_g&=F_{\text{H}_{2}\text{O}}-F'_{\text{H}_{2}\text{O}}=0\\ F'_{\text{H}_{2}\text{O}}&=F_g\\ F'_{\text{H}_{2}\text{O}} &= \frac{ \Delta p}{ \Delta t}\\ \frac{ \Delta p}{ \Delta t} &= M\cdot g \end{aligned}\]

Keďže sa voda po zrážke odrazí v horizontálnom smere symetricky, tak nás bude zaujímať iba čo sa deje s vertikálnou zložkou. Malý element vody mal pred zrážkou hybnosť \(p_1=mv_1\) a po zrážke hybnosť \(p_2=mv_2\). Rozdiel hybností preto bude \(\Delta p=m\Delta v\). Vertikálnu zložku vody po zrážke vyrátame ako \(v\cdot \cos(\alpha)\), a teda rozdiel rýchlosti je: \(v(1-\cos(\alpha))\).

\[ M \cdot g=\frac{m \cdot v \cdot \left(1 - \cos(\alpha)\right)}{t} \qquad(2)\]

Poznáme objemový prietok \(Q\), z ktorého si vieme vyjadriť hmotnosť ako

\[\begin{aligned} Q&=\frac{V}{t}\\ V&=\frac{m}{\rho} \end{aligned}\]

\[m=Q \cdot \rho \cdot t\qquad(3)\]

Po dosadení 1 a 3 do 2 dostávame:

\[\begin{aligned} M \cdot g&=Q \cdot \rho \cdot \sqrt{(2 g(H-h))} \cdot \left(1-\cos(\alpha)\right)\\ \sqrt{(2g(H-h))} &= \frac{M \cdot g}{Q \cdot \rho \cdot \left(1-\cos(\alpha)\right)}\\ h&=H-\frac{M^2 \cdot g}{2 \cdot Q^2 \cdot \rho^2 \cdot \left(1-\cos(\alpha)\right)^2} \end{aligned}\]

Poďme si intuitívne overiť, či je náš výsledok správny. Keď budeme zvyšovať \(H\), tak voda strieka do vyššej výšky, a teda má viac energie, čiže hračka bude levitovať vyššie. Čím väčšia hmotnosť hračky, tým nižšie bude levitovať, lebo odčítame väčšie číslo. So zväčšujúcim sa prietokom výška rastie. Ak zvýšime hustotu, tak do hračky bude narážať viac častíc, a teda výška narastá. Čím je väčšia hodnota uhla, tým je menší kosínus a výraz \(1-\cos\) je väčší, teda voda vystrekne vyššie. Môžeme si to predstaviť tak, že ak by sa voda odrážala pod \(\ang{180}\) uhlom, tak by všetku svoju vertikálnu energiu odovzdávala hračke, čo by bolo vlastne maximum energie, ktorú jej vie dať. Vidíme, že intuitívne nám vzorec vyšiel, a teda sme týmto vyrátali výšku \(h\), v ktorej bude hračka levitovať.