4. Roztopašná zábavka vzorové riešenie

Je zhruba jasné, že čo, a ako máme v tejto úlohe merať. Zdôraznime si ale niektoré veci, ktoré by nám mohli nepríjemne ovplyniť presnosť merania.

My sme meranie realizovali tak, že sme ohrievali vodu s ľadom v hrnci na sklokeramickej varnej platni. A z toho by mohla vzniknúť prvá chyba merania, ktorú sa nám ale podarilo odstrániť (táto chyba sa týka aj indukčných platní). Táto platňa má nastaviteľné úrovne výkonu/teploty (v stupňoch od \(\num{0}\) po \(\num{9}\)). Prvá chyba, ktorej sme sa mohli dopustiť by bola, že budeme dávať hrniec s ľadom na platňu tak, že bude rozohriata na rôzne teploty. Tento problém sme odstránili tým, že sme pri každom meraní zapli platňu na stupeň \(\num{8}\), a počkali, kým prvý krát prestane hriať (už dosiahla teplotu, na ktorú sa mala ohrievať, a teda vypla ohrev, zapne ho, až keď klesne teplota pod nejakú hodnotu). Tí z Vás, ktorí ste ohrievali vodu s ľadom na plynovom sporáku, ste toto nemuseli riešiť.

Druhá, súvisiaca chyba mohla nastať tak, že hrniec, v ktorom ste to ohrievali mal rôznu počiatočnú teplotu v priebehu meraní. My sme tento nedostatok odstránili tak, že sme pred všetkými meraniami hrniec ochladili na teplotu vody, (ktorej teplota na začiatku bola \(\SI{13}{\celsius}\) počas meraní nekolísala o viac ako \(\SI{1}{\celsius}\)).

Rovnako ako hrniec a platňa, tak aj voda, ktorú sme ohrievali musela mať v priebehu meraní rovnakú teplotu, a toto sme vyriešili jednoducho tak, že sme pred každým meraním merali teplotu vody, aby bola rovnaká.

Super, po tomto všetkom máme rovnaké vstupné podmienky pre každé meranie.

Čo sa týka ľadu, ktorý sme topili, tak sme množstvo ľadu vážili, z toho dôvodu, že v ľade celkom rady ostávajú bublinky vzduchu, ktoré zväčšujú objem ľadu.

Tabuľka nameraných hodnôt (asi ju netreba komentovať):

Množstvo ľadu \([\si{\gram}]\)	Čas ohrevu \([\si{\second}]\)
\(\SI{0}{\gram}\)	\(\SI{232}{\second}\)
\(\SI{45}{\gram}\)	\(\SI{313}{\second}\)
\(\SI{65}{\gram}\)	\(\SI{355}{\second}\)
\(\SI{138}{\gram}\)	\(\SI{420}{\second}\)
\(\SI{141}{\gram}\)	\(\SI{430}{\second}\)
\(\SI{162}{\gram}\)	\(\SI{451}{\second}\)
\(\SI{214}{\gram}\)	\(\SI{512}{\second}\)
\(\SI{217}{\gram}\)	\(\SI{515}{\second}\)
\(\SI{230}{\gram}\)	\(\SI{520}{\second}\)
\(\SI{303}{\gram}\)	\(\SI{580}{\second}\)
\(\SI{306}{\gram}\)	\(\SI{610}{\second}\)

A graf z týchto nameraných hodnôt:

Čo sme mali ďalej urobiť je, pokúsiť sa odhadnúť skupenské teplo topenia ľadu.

Vyhodnotenie nameraných dát

Teplo, ktoré musí byť dodané našej zmesi ľadu s vodou je rovné teplu, ktoré musí byť dodané na ohriatie tejto zmesi na teplotu \(\SI{80}{\celsius}\), plus teplu, ktoré je treba na roztopenie toho množstva ľadu a teplu, ktoré je potrebné na ohriatie hrnca. Zapísané do rovnice to vyzerá asi takto:

\[Q = c_{vody} m_{vody} \Delta t_{vody} + c_{vody} m_{\mathit{ľadu}} \Delta t_{\mathit{vody\,z\,ľadu}} + c_{\mathit{ľadu}} m_{\mathit{ľadu}} \Delta t_{\mathit{ľadu}} + l_{\mathit{ľadu}} m_{\mathit{ľadu}} + c_{hrnca} m_{hrnca} \Delta t_{hrnca}\]

Keďže na začiatku máme hrniec aj s vodou ustálený na rovnakú teplotu, tak vieme túto rovnicu zjednodušiť:

\[Q = \Delta t_{vody} \left(c_{vody} m_{vody} + c_{hrnca} m_{hrnca} \right) + m_{ľadu} \left( c_{vody} \Delta t_{\mathit{vody\,z\,ľadu}} + c_{\mathit{ľadu}} \Delta t_{\mathit{ľadu}} + l_{\mathit{ľadu}} \right) \]

Nás ale viac ako teplo, zaujíma čas, ktorý nám bude trvať toto teplo dodať. Ak teda rovnicu predelíme výkonom variča, tak dostaneme:

\[t_{ohrevu} = \Delta t_{vody} \frac {c_{vody} m_{vody} + c_{hrnca} m_{hrnca}} {P} + m_{\mathit{ľadu}} \frac{ c_{vody} \Delta t_{\mathit{vody\,z\,ľadu}} + c_{\mathit{ľadu}} \Delta t_{\mathit{ľadu}} + l_{\mathit{ľadu}} } {P} \]

Z tohoto vidíme, že keďže prvý člen pravej strany rovnice sa nemení, a druhý člen rastie priamo úmerne s množstvom ľadu, tak aj čas by mal rásť priamo úmerne s množstvom ľadu, čo sa zhoduje s tým, čo sme namerali.

Skúsme teda nejako vyjadriť čas. Zo šikovne urobeného prvého merania času, ktorý sa zohrieva voda bez ľadu vieme určiť prvý člen, a ostanú nám už iba druhý. Bohužiaľ, ako vidíme z toho, ako tento člen vyzerá, ani ak by sme zanedbali teplo potrebné na ohriatie ľadu, tak z toho nevieme zistiť nič lepšie ako skupenské teplo topenia ľadu predelené výkonom variča.

Jediná možnosť je teda nejako zistiť výkon variča. Zo štítku na varnej platni vieme zistiť jej príkon, ale bohužiaľ nevieme zistiť straty pri ohreve.

Druhá možnosť, ako by sa dal zistiť výkon variča je, že zanedbáme teplo potrebné na ohrev hrnca, a teplo potrebné na ohrev ľadu na teplotu \(\SI{0}{\celsius}\), a zistíme si tepelnú kapacitu vody a z prvého merania si vypočítame výkon variča

Po dosadení nám teda vyjde výkon variča ako:

\[ P = \frac{\Delta t_{vody} c_{vody} m_{vody} } {t_{ohrevu}} = \frac{\Delta (\num{80}-\num{13}) \cdot \num{4200} \cdot \num{0.5} } {\num{232}} = \SI{606}{\watt} \]

Teraz teda môžeme pri všetkých meraniach vypočítať skupenské teplo topenia ľadu:

Množstvo ľadu \([\si{\gram}]\)	Čas ohrevu \([\si{\second}]\)	Skupenské teplo \([\si{\joule\per\kilo\gram}]\)
\(\SI{45}{\gram}\)	\(\SI{313}{\second}\)	\(\SI{334909}{\joule\per\kilo\gram}\)
\(\SI{65}{\gram}\)	\(\SI{355}{\second}\)	\(\SI{334853}{\joule\per\kilo\gram}\)
\(\SI{138}{\gram}\)	\(\SI{420}{\second}\)	\(\SI{335174}{\joule\per\kilo\gram}\)
\(\SI{141}{\gram}\)	\(\SI{430}{\second}\)	\(\SI{335149}{\joule\per\kilo\gram}\)
\(\SI{162}{\gram}\)	\(\SI{451}{\second}\)	\(\SI{335180}{\joule\per\kilo\gram}\)
\(\SI{214}{\gram}\)	\(\SI{512}{\second}\)	\(\SI{335207}{\joule\per\kilo\gram}\)
\(\SI{217}{\gram}\)	\(\SI{515}{\second}\)	\(\SI{335209}{\joule\per\kilo\gram}\)
\(\SI{230}{\gram}\)	\(\SI{520}{\second}\)	\(\SI{335241}{\joule\per\kilo\gram}\)
\(\SI{303}{\gram}\)	\(\SI{580}{\second}\)	\(\SI{335304}{\joule\per\kilo\gram}\)
\(\SI{306}{\gram}\)	\(\SI{610}{\second}\)	\(\SI{335251}{\joule\per\kilo\gram}\)

Priemerná hodnota skupenského tepla topenia ľadu je teda \(\SI{335148}{\joule\per\kilo\gram}\), čo v porovnaní s tabuľkovou hodnotou \(\SI{334000}{\joule\per\kilo\gram}\) je celkom presný výsledok.

Lepšie vyhodnotenie nameraných dát

Celkom veľkým problémom takéhoto vyhodnocovania nameraných dát je to, že sme všetky merania vyhodnocovali na základe prvého merania bez ľadu. Tento problém sa dá vyriešiť, ak si všimneme, že členy v tejto rovnici:

\[t_{ohrevu} = \Delta t_{vody} \frac {c_{vody} m_{vody} + c_{hrnca} m_{hrnca}} {P} + m_{\mathit{ľadu}} \frac{ c_{vody} \Delta t_{\mathit{vody\,z\,ľadu}} + c_{\mathit{ľadu}} \Delta t_{\mathit{ľadu}} + l_{\mathit{ľadu}} } {P} \]

vieme rozdeliť na tie, ktoré závisia od \(m_{\mathit{ľadu}}\), a tie ktoré nie. Ak sa nad tým zamyslíme, tak si môžeme uvedomiť, že sa to celkom nápadne podobá na rovnicu priamky, kde

\[a = \Delta t_{vody} \frac {c_{vody} m_{vody} + c_{hrnca} m_{hrnca}} {P}\]

\[b = \frac{ c_{vody} \Delta t_{\mathit{vody\,z\,ľadu}} + c_{\mathit{ľadu}} \Delta t_{\mathit{ľadu}} + l_{\mathit{ľadu}} } {P} \]

Ak sa teraz dopustíme toho, že rovnako ako pred tým zanedbáme teplo potrebné na ohrev hrnca a teplo potrebné na ohrev ľadu, tak pri použití hodnôt, ktoré sme použili ako parametre rovnice priamky, ktorou sme fitovali náš graf (\(b=\num{261.309}\), \(a=\num{1.13322}\)), dostaneme, že:

\[\frac{c_{vody}}{P} = \num{7.8}\]

\[\frac{l_{\mathit{ľadu}}}{P} = \num{706.51}\]

Následne môžeme použiť tabuľkovú hodnotu hmotnostnej tepelnej kapacity vody \(c=\SI{4200}{\joule\per\kilo\gram\kelvin}\), z čoho vieme zistiť výkon variča ako \(P=\SI{538}{\watt}\), a skupenské teplo topenia ľadu ako \(l_{\mathit{ľadu}} = \SI{380760}{\joule\per\kilo\gram}\).

Tento postup, má oproti riešeniu predtým tú výhodu, že nie sú všetky výsledky závislé od jedného merania.

Chyby merania

Čo sa týka presnosti merania, tak meranie teploty bolo realizované teplotnou sondou pripojenou na multimeter, so vzorkovaním \(\SI{1}{\celsius}\), v rozsahu \(\SIrange{0}{400}{\celsius}\) presnosťou \(\SI{1}{\percent}\), hmotnosť bola zisťovaná kuchynskou váhou s prenosťou a vzorkovaním \(\SI{1}{\gram}\).

Samotné merania boli teda robené dostatočne presne. Čo ale robené presne nebolo bolo to, že sme zanedbávali niektoré veci, ako napríklad teplo potrebné na ohrev hrnca, alebo ohrev ľadu na \(\SI{0}{\celsius}\).

Dôvodom, prečo sme to mohli urobiť je to, že teplo, potrebné na ohriatie hrnca a ľadu je oproti teplu potrebnému na ohriatie vody výrazne nižšie a ľad potrebujeme ohriať iba o pár stupňov, na rozdiel od vody.

Samozrejme, na výsledkoch merania sa to prejaví tak, že teplo na ohriatie hrnca započítame do tepla na ohriatie vody, a teda nám vyjde menší výkon varnej platne.

Teplo potrebné na ohriatie ľadu tiež zanedbávame, a to sa zarátava do tepla potrebného na roztopenie ľadu, takže nám toto teplo vyjde väčšie.