5. Biliardové gule vzorové riešenie

Budeme predpokladať, že zrážky biliardových gulí sú dokonale pružné, a že biliardový stôl je bez trenia - to zabezpečí, je gule sa po ňom budú kĺzať a nebudú rotovať. Ak sú zrážky dokonale pružné, môžeme uvaťovať, že platí zákon zachovania energie (ďalej len ZZE) aj zákon zachovania hybnosti (ZZH) v našej sústave.

Na úvod sa pozrime, ako vyzerá necentrálna zrážka dvoch gulí rôznych hmotností, z ktorých sa jedna hýbe a druhá stojí. Budeme predpokladať, že stojaca guľa má hmotnosť \(m\) a hýbajúca sa má hmotnosť \(k\cdot m\), kde \(k\) je kladné reálne číslo. Uvedomme si, že stojaca guľa je ľahšia ako hýbajúca sa práve vtedy, keď \(k>1\). Dôležité je v tomto prípade si uvedomiť, že stojaca guľa sa po zrážke bude pohybovať smerom určeným tým, kde na nej leží bod dotyku s hýbajúcou sa guľou pri zrážke. Jediná sila, ktorá totiž pri zrážke pôsosbí na stojacu guľu je totiž normálová sila povrchu pohybujúcej sa, a tá má smer kolmo od bodu dotyku. Teda ak je Hovorca šikovný (a to veríme, že je), dokáže nasmerovať prvú guľu na druhú tak, aby sa následne stojaca guľa rozpohybovala smerom, ktorý si zmyslí (samozrejme vrámci rozumného rozpätia uhlov).

Zároveň však platí ZZH, ktorý platí vektorovo! Ak si pohyb gulí po zrážke rozložíme na „smer pôvodnej rýchlosti prvej gule“ a „kolmý smer“ (pracovne nazývané aj \(x\)-ový a \(y\)-ový smer v danom poradí), pre oba tieto smery musí platiť ZZH. Teda \(y\)-ové zložky hybností gulí po zrážke sa musia vzájomne rovnať veľkosťou a byť opačne orientované, nakoľko pred zrážkou bola celková hybnosť v tomto smere nulová. Zložky v smere \(x\) zase po zrážke musia spolu dať pôvodnú hybnosť prvej gule. Označíme \(\alpha_1\) a \(\alpha_2\) uhly, o ktoré sa voči \(x\)-ovému smeru odklonia postupne prvá a druhá guľa po zrážke, pričom uvažujeme len ich veľkosť, nie smer, teda \(\alpha_1 \geq 0\) a \(\alpha_2 \geq 0\). Označme tiež rýchlosť prvej gule pred zrážkou \(v_0\) a rýchlosti gulí po zrážke \(v_1\) a \(v_2\).

Potom môžeme písať tri rovnice, ktoré postupne vyjadrujú ZZE, ZZH v smere \(x\) a ZZH v smere \(y\):

\[kmv_0^2=kmv_1^2+mv_2^2,\]\[kmv_0=kmv_1\cos\alpha_1+mv_2\cos\alpha_2,\]

\[0=kmv_1\sin\alpha_1-mv_2\sin\alpha_2.\]

Všimnime si hneď na úvod, že hmotnosť \(m\) sa dá zo všetkých rovníc vykrátiť. Našou snahou bude vyjadriť pomer hmotností \(k\) iba pomocou uhlov, ktoré vieme merať. Ak sa nám to podarí, tak pomer hmotností určí, ktorá z gulí je ťažšia.

Tretiu rovnicu upravme do tvaru \(v_2=kv_1\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\) a dosadiac do druhej tú následne upravíme na tvar \(v_0=v_1\left(\cos\alpha_1 + \sin\alpha_1\cot\alpha_2\right)\). Ak teraz do prvej rovnice dosadíme za \(v_0\) a \(v_2\), dostaneme rovnicu \[ kv_1^2 \left(\cos\alpha_1+\sin\alpha_1\cot\alpha_2\right)^2 = kv_1^2 + k^2v_1^2\left(\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\right)^2, \]

z ktorej vieme vykrátiť \(kv_1^2\) a úpravami dostávame \[ k = \left(\frac{\sin\alpha_2}{\sin\alpha_1}\right)^2\left(\left(\cos\alpha_1+\sin\alpha_1\cot\alpha_2\right)^2-1\right). \] Čitateľ nám isto odpustí matematický prístup, keď povieme, že „riešenie existuje“, teda že vieme určiť, ktorá z gulí je ťažšia, ba čo viac, presne určiť pomer hmotností dvoch gulí pri zrážke, pokiaľ jedna z nich predtým stála.

Teraz stačí urobiť nasledovné: postavím na stôl tri gule. Prvú vystrelím necentrálne na druhú tak, aby druhá zasiahla po zrážke tretiu tiež necentrálne. Odmeriame uhly a vieme určiť pomery hmotností prvej a druhej gule ako aj druhej a tretej gule, teda vlastne pomery hmotností všetkých gulí. A teda jednoznačne dokážeme povedať, ktorá z gulí je najťažšia a ktorá najľahšia.