3. Závažná expanzia vzorové riešenie

Zadanie

Kubo sa rozhodol, že FKS miestnosť musí expandovať. Aby si však najprv expanzie nacvičil, zobral si nádobu s piestom s obsahom \(S\), do ktorej napustil kyslík. Na piest položil závažie s hmotnosťou \(m\) a plyn v nádobe sa ustálil o výške \(h\). Potom plynu dodal teplo \(Q\) a jeho teplota sa zmenila o \(\Delta T\). Ako vysoko sa zdvihlo závažie na pieste?

Ukážeme si riešenie dvoma spôsobmi: cez stavovú rovnicu a takisto cez prvý termodynamický zákon.

Riešenie pomocou stavovej rovnice

Sústava je na začiatku a aj na konci v pokoji. To znamená, že sily sú v rovnováhe. Nech tlak okolia je \(p_0\) a tlak vo vnútri \(p\), potom pre oba časy platí rovnováha síl, \[ \underbrace{p S}_\text{sila nahor} = \underbrace{p_0 S + mg}_\text{sila smerom nadol}. \qquad(1)\] Ak dosadíme stavovú rovnicu \(p V = N k_\text{B} T\) za \(p\): \[ \frac{N k T}{H} = p_0 S + mg, \] kde \(H\) je výška plynu. Túto rovnicu teraz prenásobíme do tvaru \[ \frac{NkT}{p_0 S + mg} = H. \]

Pozrime sa čo táto rovnica hovorí. Odvodili sme ju len z rovnosti síl, a teda bude platiť aj na začiatku a aj na konci. Všetky hodnoty premenných zostávaju však rovnaké, až na \(H\) a \(T\), ktoré sa počas deja zmenia.

Označme teda počiatočné hodnoty indexom 1 (\(H_1\), \(T_1\)), a konečné indexom 2 (\(H_2\), \(T_2\)). Takto dostaneme dve rovnice: \[ \begin{aligned} \frac{NkT_1}{p_0 S + mg} &= H_1, \\ \frac{NkT_2}{p_0 S + mg} &= H_2. \\ \end{aligned} \] Ak teraz odčítame prvú rovnicu od druhej, dostaneme výsledok \[ \boxed{\Delta H = \frac{Nk\Delta T}{p_0 S + mg}}. \]

Riešenie pomocou zákona zachovania energie

Na začiatok napíšeme prvý zákon termodynamický (ktorý je iba prepísaním zákona zachovania energie), \[ \Delta U = Q - W. \] Čo nám tento zákon hovorí? Každý plyn sa skladá z veľkého množstva voľných molekúl. Súčet energií týchto molekúl voláme vnútorná energia \(U\). Podľa zákona zachovania energie, keď s plynom nič nerobíme, celková energia by sa nemala meniť. Toto samozrejme neplatí, ak nejakým spôsobom energiu do plynu dodávame, alebo ju odoberáme. Prvý termodynamický zákon vraví, že zmena tejto energie je rovná rozdielu dodaného tepla a práce, ktorú plyn vykoná

Bežne platí, že kinetická energia týchto molekúl je väčšia ako ich celková potenciálna energia. Čo teda ako správny fyzici spravíme je, že potenciálnu energiu zanedbáme. Táto aproximácia sa bežne nazýva ideálny plyn, t.j. plyn v ktorom medzi časticami nie sú žiadne sily (žiadne sily = žiadna potenciálna energia). Potom môžeme zmenu vnútornej energie napísať ako: \[ \Delta U = C_V \Delta T, \] kde \(C_V\) je tepelná kapacita plynu pri konštantnom objeme. (Tá sa dá spočítať ako súčin mernej tepelnej kapacity a hmotnosti.)

Teplo Q máme zadané v zadaní a už nám stačí iba spočítať prácu plynu \(W\) – tú spočítame separátne. Vieme, že práca plynu sa spočíta ako tlak plynu krát zmena objemu. Taktiež, sústava je počas pohybu v rovnováhe, a preto môžeme nahradiť tlak plynu vovnútri súčtom sily závažia a tlaku okolitého vzduchu (podľa rovnice 1) \[ W = p\, \underbrace{S \Delta H}_{\Delta V} = (mg + p_0 S) \Delta H. \] Ak to všetko pospájame dohromady, výsledok je \[ \boxed{\Delta H = \frac{Q - C_V \Delta T}{mg + p_0S}}. \qquad(2)\]

Prečo nám vyšli rozličné výsledky? (bonus)

Oba uvedené výsledky sú správne, no druhý má v sebe zopár maličkých detailov. Viac pochopíte, keď sa začneme zamýšlať, ako vyjadriť teplo \(Q\). Bežne sa totiž učí, že teplo je \(Q = C \Delta T\) (znova používame iba tepelnú kapacitu, nie mernú tepelnú kapacitu), a tak to vyzerá že čitateľ rovnice 2 bude nula! Výsledok by potom bol zcela iste zle!

Trik je v tom, že pre plyn existuje mnoho rôznych tepelných kapacít a vždy musíme použiť tú, ktorá popisuje dej, ktorý sa vykonáva. V našom prípade overíme dve možnosti:

1. teplo pridáme okamžite, a plyn následne expandne na konečnú veľkosť,
2. teplo pridávame pomaly, kým sa plyn rozpína.

V prvom prípade pridávame teplo kým plyn zostáva na mieste a nexpanduje. Preto v tom prípade by sme mali použit tepelnú kapacitu pri konštantnom objeme. Rovnica 2 nám dá vysledok nula. Tento výsledok je však nepravdivý. Totižto vzťah pre prácu plynu $ W = p V$ platí iba pre reverzibilné procesy. Tento proces však nie je reverzibilný – keby ho nahráme na video, a to pustíme odzadu, vidíme, že plyn sa sám odseba stlačí, a až potom od neho zoberieme prebytočné teplo. Aký má byť teda výsledok v tomto prípade? Ukazuje sa, že riešenie cez stavovú rovnicu stále platí, lebo tam sme žiadne predpoklady o reverzibilite nespravili. Viac už to však rozoberať nebudeme, lebo táto téma sa stane veľmi rýchlo viac komplikovanou ako je rozsah tohto vzoráku. (Kľúčové slovo pre záujemcov: entropia plynu.)

V druhom prípade tlak expanduje tak, že si drží rovnaký tlak ako na začiatku (vždy je v rovnováhe). V tom prípade musíme použit tepelnú kapacitu pri konštantnom tlaku. V tomto prípade nám však rovnica 2 dá: \[ \Delta H = \frac{(C_p - C_V)\Delta T}{mg + p_0 S} \] a toto môžeme upraviť pomocou takzvaného Mayerovho vzťahu pre rozdiel tepelných kapacít: \[ \Delta H = \frac{N k_B \Delta T}{mg + p_0 S} \] čo je rovnaký výsledok ako z prvého postupu! Svet je zachránený, aspoň teda v prípade, kedy teplo pridávame reverzibilne.