Zadanie
Adamovi sa pokazila kuchynská váha. Rýchlo si zadovážil novú, veľmi odvážnu váhu. Ide o elektronickú váhu s vymoženosťou tarovania, teda vynulovania zobrazenej hodnoty. Celý ňou natešený začal vážiť rôzne veci. Vážil a vážil, až odvážil všetky veci vo svojej izbe. Teda… skoro všetky. Ešte musí odvážiť samotnú váhu! Dá sa to však vôbec? Poraďte Adamovi, ako na to.
Adam chce zvážiť svoju digitálnu váhu na nej samej? Bežná digitálna váha sa skladá z vrchnej časti (na ktorú kladieme veci, ktoré chceme zvážiť), spodnej časti (tela váhy) a vážiaceho zariadenia ktoré ich spája. Označme si hmotnosť vrchnej časti \(m_1\) a hmotnosť spodnej \(m_2\).
A ako taká váha funguje? Majme váhu položenú na jej spodnej časti, zapneme ju, a položíme na ňu predmet s hmotnosťou \(m\), ktorý chceme odvážiť. Vážiace zariadenie vo vnútri váhy potom zaznamená nárast tlakovej sily, ktorá naň pôsobí, a to o tiažovú silu \(m\cdot g\), ktorá na dané teleso pôsobí. Váha potom vypíše hmotnosť \(m\) prislúchajúcu zmene tlakovej sily \(m\cdot g\), ktorá na ňu pôsobí.
Keď váhu držíme za jednu z jej častí, tak tiažová sila druhej časti pôsobí ako tlaková/ťahová na vážiace zariadenie a stláča/rozťahuje ho medzi vrchnou a spodnou časťou. Pokiaľ váhu v tejto polohe zapneme(alebo vynulujeme či stlačíme TARE), tak váha bude hmotnosť prislúchajúcu tejto sile odpočítavať od všetkých nasledujúcich vážení až do jej opätovného vynulovania.
Váhu môžeme mať v jednej zo \(4\) polôh:
- \(P_1\): Položenú na spodnej časti hore hlavou
- Vrchná časť pôsobí na vážiace zariadenie tlakovou silou \(m_1\cdot g\)
- \(P_2\): Položenú na vrchnej časti dole hlavou
- Spodná časť pôsobí na vážiace zariadenie tlakovou silou \(m_2\cdot g\)
- \(P_3\): Zavesenú za vrchnú časť hore hlavou
- Spodná časť pôsobí na vážiace zariadenie ťahovou silou \(m_2\cdot g\)
- \(P_4\): Zavesenú za spodnú časť dole hlavou
- Vrchná časť pôsobí na vážiace zariadenie ťahovou silou \(m_1\cdot g\)
Ak v jednej z týchto polôh váhu vynulujeme, váha bude od najbližšieho vynulovania, odpočítavať od každého váženia sily, ktoré na ňu pôsobili, keď sme ju nulovali. Ak ju potom presunieme do inej polohy, na váhu budú pôsobiť iné sily a ona nám ukáže hmotnosť zodpovedajúcu rozdielu síl pôsobiacich na vážiace zariadenie v týchto polohách (sily v 2. polohe mínus sily v 1. polohe). Napr. ak by sme váhu vynulovali položenú na jej spodnej časti(keď na jej vážiace zariadenie tlačiť \(m_1\cdot g\) tiažová sila vrchnej časti) a potom ju obrátili na jej vrchnú časť (keď bude na jej vážiace zariadenie tlačiť \(m_2 \cdot g\) tiažová sila jej spodnej časti), tak nám ukáže hmotnosť zodpovedajúcu rozdielu síl \(m_2 \cdot g - m_1 \cdot g\), čiže \(m_2 - m_1\) rozdiel prislúchajúcich hmotností.
Urobme si na rozdiely týchto hmotností tabuľku tak, že riadky budú zodpovedať polohe, v ktorej sme váhu vynulovali a stĺpce polohe, v ktorej sme hmotnosť na váhe merali.
| \(P_1\) | \(P_2\) | \(P_3\) | \(P_4\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(P_1\) | \(-m_1+m_2\) | \(-m_1-m_2\) | \(-2 m_1\) | |
| \(P_2\) | \(-m_2+m_1\) | \(2 m_2\) | \(-m_2-m_1\) | |
| \(P_3\) | \(m_2+m_1\) | \(2 m_2\) | \(m_2-m_1\) | |
| \(P_4\) | \(2 m_1\) | \(m_1+m_2\) | \(m_1-m_2\) |
Ako vidíme, najľahšie by nám bolo vynulovať váhu v \(P_3\) (zavesenú za vrchnú časť) a potom hmotnosť odčítať v \(P_1\) (kým je váha položená hlavou hore). Vtedy by nám váha priamo vypísala celú svoju váhu. Rovnako dobre by sme dopadli pre dvojicu \(P_4\), \(P_2\) (zo závesu za spodok dole hlavou, do položenia na vrchnú časť dole hlavou), alebo hoc aj len vymenením poradia polôh, keď hmotnosť dostaneme s opačným znamienkom.
K správnemu výsledku sa vieme pravdaže dostať aj inou kombináciou vážení, z ktorých by sme dostali sústavu lineárnych rovníc, ktoré už len potrebujeme vyriešiť pre \(m_1\) a \(m_2\) a tieto sčítať.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.