7. Troll science vzorové riešenie

Označme si rýchlosť kabíny s trollom tesne pred výskokom \(v\), rýchlosť trolla po výskoku \(u\) a rýchlosť kabíny po výskoku \(w\). Za kladný smer si zvoľme smer nadol.

Začnime tým, čo vieme o výskoku okamžite povedať. Rozhodne musí platiť zákon zachovania hybnosti, podľa ktorého \[ \left(m+M\right)v=mu+Mw\text{,} \] kde \(m\) je hmotnosť trolla a \(M\) je hmotnosť kabíny. Zákon zachovania mechanickej energie nemôžeme priamo použiť, pretože trollove nohy vykonávajú pri výskoku prácu. Čo ale môžeme bez obáv tvrdiť, je, že zmena kinetickej energie sústavy pri výskoku je rovná vykonanej práci \(W\), alebo \[ \frac{1}{2}\left(m+M\right)v^{2}+W=\frac{1}{2}mu^{2}+\frac{1}{2}Mw^{2}\text{.} \] Otázkou je, či vieme nejako zistiť, akú prácu vykonajú trollove nohy.

Máme informáciu o tom, do akej výšky vie troll vyskočiť na pevnej zemi. Čo to ale znamená pre výskok v padajúcom výťahu? Rozhodne vieme povedať, že výška výskoku je v oboch prípadoch limitovaná silou, akú vedia trollove nohy pri výskoku vyvinúť. Pokiaľ sa troll snaží vyskočiť najviac, ako to ide, tak sila bude v oboch prípadoch rovnaká. Vieme tento poznatok nejako zúročiť?

Zadanie nás nabáda, aby sme sa zamysleli nad prácami a impulzmi síl, teda nad integrálmi \(W=\int F\thinspace\textrm{d}s\), resp. \(I=\int F\thinspace\textrm{d}t\). Vieme o niektorom z nich povedať, že je rovnaký v prípade výskoku z pevnej zeme i pri výskoku v padajúcej kabíne výťahu. Ak nie, tak preskúmajme oba prípady.

Najskôr predpokladajme, že impulz sily je to, čo je rovnaké v oboch prípadoch. Vieme, že troll vyskočí z pevnej zeme do výšky \(h\), takže tesne po výskoku má rýchlosť \(v_{0}=\sqrt{2gh}\). To znamená, že si udelí impulz veľkosti \(I=m\sqrt{2gh}\). Rovnako veľký impulz udelí aj zemi.¹ Ak si rovnaký impulz udelí aj v padajúcom výťahu, tak potom môžeme písať \[ mv-mu=m\sqrt{2gh}\text{.} \] Spolu so zákonom zachovania hybnosti dostávame sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych, ktorej riešením sú rýchlosti trolla a kabíny po výskoku \[\begin{gathered} u=v-\sqrt{2gh}\text{,}\\ w=v+\frac{m}{M}\sqrt{2gh}\text{.} \end{gathered}\] Môžeme sa pozrieť, aká práca nôh zodpovedá tomuto prípadu. Z energetickej bilancie jednoducho dostávame \[ W=\frac{1}{2}mu^{2}+\frac{1}{2}Mw^{2}-\frac{1}{2}\left(m+M\right)v^{2}=mgh\left(1+\frac{m}{M}\right)\text{.} \] Keď sa tomuto výsledku prizrieme bližšie, zbadáme, že nemôže zodpovedať realite. Jednak si všimnime, že rýchlosť trolla po výskoku nezávisí od hmotnosti kabíny. To znamená, že by sa rovnako dobre mohol odraziť od svojej topánky, ktorá by vďaka tomu získala obrovskú rýchlosť a vystrelila by nadol ako projektil. Zároveň by si tento akt vyžiadal šialené množstvo energie, čo vidíme z energetickej bilancie, nakoľko hmotnosť \(M\) vystupuje v menovateli.

Uvažujme teda druhý prípad. Nech práca nôh je v oboch prípadoch rovnaká. Keďže troll z pevnej zeme vyskočí do výšky \(h\), jej množstvo je \(W=mgh\). To sa líši oproti predchádzajúcemu prípadu iba chýbajúcim faktorom \(\left(1+\frac{m}{M}\right)\) a v prípade ďaleko ťažšej kabíny (hobit vo výťahu) dáva rovnaký výsledok. Zákon zachovania hybnosti spolu s rovnicou pre energetickú bilanciu \[ \frac{1}{2}\left(m+M\right)v^{2}+mgh=\frac{1}{2}mu^{2}+\frac{1}{2}Mw^{2} \] potom dáva rýchlosť trolla po výskoku \[ u=v-\sqrt{\frac{2gh}{1+\frac{m}{M}}}\text{.} \] Pre zaujímavosť, to zodpovedá získanému impulzu sily \[ I=mv-mu=m\sqrt{2gh}\sqrt{\frac{M}{M+m}}\text{.} \] V prípade, že kabína je ďaleko ťažšia (hobit vo výťahu) je to rovnaký impulz ako pri výskoku z pevnej zeme. V prípade, že kabína má zanedbateľnú hmotnosť (Samko vo výťahu), rýchlosť Samka sa prakticky nezmení (Samko zohráva úlohu pevnej zeme).

Dospeli sme teda k záveru, že správny môže byť len druhý prípad, teda že práca je rovnaká pri oboch výskokoch. Keď zo zákona zachovania energie ešte dopočítame rýchlosť kabíny s trollom tesne pred výskokom, ktorá je \(v=\sqrt{2gH}\), dostaneme pre rýchlosť trolla po výsoku \(u=\sqrt{2gH}-\sqrt{\frac{M}{M+m}2gh}\), čo opäť zo zákona zachovania energie dáva zodpovedajúcu výšku pádu bez výskoku \[ \mathcal{H}=\frac{u^{2}}{2g}=\left(\sqrt{H}-\sqrt{\frac{h}{1+\frac{m}{M}}}\right)^{2}\text{.} \]

Na záver sa hlbšie zamyslime, či to, čo sme dostali, dáva zmysel aj na základe teoretických úvah. Čítať len na vlastné riziko. Sila medzi trollom a objektom, z ktorého sa odráža, pôsobí iba na krátkej dráhe, na ktorej sú nohy s objektom v kontakte. Táto sila závisí od toho, v akej fáze výskoku sa troll nachádza, teda od vzdialenosti trolla od odrazového objektu. Sila, ktorou pôsobí troll na objekt je podľa tretieho Newtonovho zákona v každom momente rovnako veľká ako sila, ktorou pôsobí objekt na trolla. Trollovi je pri výskoku udelená energia zodpovedajúca práci, ktorú vykoná sila od odrazového objektu pôsobiaca na dráhe, ktorú urazí troll počas kontaktu jeho nôh s objektom.² Matematicky zapísané \(W_{\mathrm{troll}}=\intop_{\mathrm{dráha trolla}}F\thinspace\textrm{d}s_{\mathrm{troll}}\). Odrazovému objektu je zase udelená energia \(W_{\mathrm{objekt}}=\intop_{\mathrm{dráha objektu}}F\thinspace\textrm{d}s_{\mathrm{objekt}}\). Celková práca je teda \(W=W_{\mathrm{troll}}+W_{\mathrm{objekt}}=\intop_{\mathrm{celková dráha}}F\thinspace\textrm{d}s\), no a tento integrál je rovnaký pri výskoku zo zeme i pri výskoku vo výťahu, pretože priebeh sily nám závisí od vzájomnej polohy trolla a odrazového objektu a dráha je v oboch prípadoch rovnaká, keďže k ich oddeleniu dôjde pri tej istej vzdialenosti. Z toho dôvodu možno nohy nahradiť pružinkou, keďže aj sila pružinky závisí len od predĺženia, teda de facto od vzdialenosti trolla a odrazového objektu. Hodnota uvedeného integrálu je rovná uloženej energii v stlačenej pružinke, a tá závisí len od miery stlačenia a tuhosti a nie od hmotností objektov, ktoré spája. Na druhej strane, impulz, ktorý si pri výskoku udelí troll, je \(I_{\mathrm{troll}}=\intop F\thinspace\textrm{d}t=\intop F\frac{\textrm{d}s_{\mathrm{troll}}}{\textrm{d}s_{\mathrm{troll}}}\thinspace\textrm{d}t=\intop_{\mathrm{dráha trolla}}\frac{F}{v_{\mathrm{troll}}}\thinspace\textrm{d}s_{\mathrm{troll}}\) a impulz, ktorý udelí troll objektu je analogicky \(I_{\mathrm{objekt}}=\intop_{\mathrm{dráha objektu}}\frac{F}{v_{\mathrm{objekt}}}\thinspace\textrm{d}s_{\mathrm{objekt}}\). Hodnoty týchto impulzov zjavne závisia od toho, či ide o výskok z pevnej zeme alebo v padajúcej kabíne, nakoľko závisia od rýchlostí, a tie sú v týchto prípadoch rôzne a závisia na hmotnostiach trolla a objektu, preto nemôžu byť impulzy v jednotlivých prípadoch rovnaké.