Zadanie
Adamovi pred nosom ušla električka. Ako sa tak za ňou smutne zahľadel, pomaly sa mu začala strácať v rannej hmle, až mu po nej zostala len dvojica červených svetiel. Adamovmu pozornému oku však nič neunikne. Okamžite si všimol, že svetlá sa k sebe začali približovať. Tu zrazu siahol jednou rukou za opasok a vytiahol spoza neho pravítko. Vystrel ruku dĺžky \(L\) držiacu pravítko a nameral, že svetlá sa k sebe zdanlivo približovali rýchlosťou \(u\), pričom ich zdanlivá vzdialenosť bola \(D\). Akou rýchlosťou sa v tom momente pohybovala električka od Adama, ak je skutočná vzdialenosť svetiel električky \(d\)?
Adam vidí niečo takéto:
Na začiatok si na zjednodušenie rátania musíme uvedomiť jednu vec – keď o svetlách vieme, že sa k sebe navzájom približujú rýchlosťou \(u\) a že v očiach pozorovateľa (Adama) sa pohybujú rovnako rýchlo, je to to isté, akoby sa obe svetielka pohybovali v očiach pozorovateľa rýchlosťou \(\frac{u}{2}\).
Na čo nám je to dobré? Teraz, keď túto “skutočnú” rýchlosť pohybu svetielka máme vyjadrenú, môžeme sa sústrediť na vyjadrenie rýchlosti \(v\). Vieme, že čas, za ktorý prejdú zdanlivo svetielka dráhu \(x\), musia skutočné svetielka na električke prejsť dráhu \(s\). Čiže platí \[ \begin{aligned} t &= \frac{s}{v} = \frac{x}{\frac{u}{2}}, \\ v &= \frac{u}{2}\frac{s}{x}. \end{aligned} \]
Chceme si teda nejak elegantne vyjadriť neznáme \(s\) a \(x\) pomocou nám zadaných parametrov. Pre zjednodušenie vlastnej existencie si obrázok vyššie vieme orezať na polovicu podľa osi symetrie a po dopísaní všetkých známych údajov sa pozeráme na niečo takéto:
Na začiatok si zadefinujme nejaké pomocné \(y\), ktoré nám vyjadruje skutočnú vzdialenosť električky od Adama. Vďaka podobnosti trojuholníkov (ďalej už len PT, tých podobných trojuholníkov je tu viac ako smogu v Číne) \(\bigtriangleup AHB\) a \(\bigtriangleup AGD\) vieme napísať \[ \frac{y}{\frac{d}{2}} = \frac{L}{\frac{D}{2}} \quad\Rightarrow\quad y = L\frac{d}{D}. \]
Pozrime sa teraz na ďalšiu vhodnú dvojicu PT: \(\bigtriangleup AFC\) a \(\bigtriangleup EGA\). Potom znova musia platiť pomery \[ \frac{\left|CF\right|}{\left|AF\right|} = \frac{\left|AG\right|}{\left|EG\right|}. \]
Vyjadríme dĺžky strán: \[ \frac{\frac{D}{2}-x}{L}=\frac{\frac{d}{2}}{s+y} \]
Keby sme si do obrázka dokreslili nejaké pomocné uhly, pekne by bolo vidieť ďalšiu dvojicu PT, a to \(\bigtriangleup ADE\) a \(\bigtriangleup ACB\). Pomer príslušných strán musí byť zachovaný, preto možno písať \[ \frac{\left|ED\right|}{\left|BC\right|} = \frac{\left|AD\right|}{\left|AC\right|}, \]
a teda \[ \frac{s}{x} = \frac{\sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 + y^2}}{\sqrt{L^2+\left(\frac{D}{2}-x\right)^2}}. \]
A zrazu tu máme nie veľmi oslnivú sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych. ktorú keď vyriešime, dostaneme \[ \begin{aligned} s &= d\left(\frac{D}{4L}-\frac{L}{D}\right), \\ x &= \frac{D}{2} - \frac{2L^2}{D}. \end{aligned} \]
Po dosadení do prvej rovnice dostávame vzťah pre rýchlosť električky: \[ \begin{aligned} v &= \frac{u}{2}\cdot\frac{d\left(\frac{D}{4L}-\frac{L}{D}\right)}{\frac{D}{2} - \frac{2L^2}{D}} \\ &= \frac{ud\left(\frac{D}{4L}-\frac{L}{D}\right)}{D-\frac{4L^2}{D}}. \end{aligned} \]
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.