6. Aj majster Dick sa utne! vzorové riešenie

Ampérov zákon

Najprv si poriadne premyslíme, prečo vôbec vznikne vo vodiči magnetické pole. Vyjdeme z Ampérovho zákona. Ak ste o ňom nepočuli, nebojte sa čítať ďalej, v krátkosti vysvetlíme, o čo ide.¹

Samotný Ampérov zákon v statickom prípade má najjednoduchší tvar, pokiaľ ho zapíšeme \[ \oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{uz}\text{.} \]

Vysvetlíme si, čo nám táto rovnica hovorí. \(\vec{B}\) je magnetické pole, \(\mu_0\) je konštanta. \(\oint\) je integrál, ale nie klasický, ako poznáte, ale takzvaný krivkový.² To je také oné, že majme nejakú slučku v priestore. Túto slučku si rozdelíme na malé dieliky. Keďže ide o slučku, tieto dieliky budú vektory \(d\vec{l}\).

Nie som si istý, či je to dobrý príklad, lebo možno ste sa s tým nestretli, ale keď bol autor vzoráku mladý, na informatike v škole sme pracovali v programe IMAGINE³, kde sme mali navigovať korytnačku tak, aby vykreslila nejaké útvary. Predstavte si, že chcete navigovať korytnačku, aby vykreslila danú slučku. Urobíte to tak, že rozdelíte túto slučku na malé časti, a za každú časť korytnačke poviete, o koľko sa má posunúť hore a koľko horizontálne. V podstate korytnačke vždy zadáte malý vektor \(d\vec{l}\), o ktorý sa má posunúť. No a pravá strana Ampérovho zákona je skoro to isté, akurát ešte korytnačke poviete, aby vždy zmerala aj vektor magnetického magnetického poľa v danom bode a spočítala skalárny súčin nameraného magnetického poľa a vektora, o ktorý sa má posunúť: \(\vec{B}\cdot d\vec{l}\). Tento medzivýsledkok si zapamätá, a na konci, keď sa vráti tam, odkiaľ vyštartovala, vám povie súčet všetkých medzivýsledkov, teda \(\sum \vec{B}\cdot d\vec{l}\).

Na pravej strane je už spomínaná konštanta \(\mu_0\) a \(I_{uz}\), čo je prúd uzavretý slučkou, teda celkový prúd pretekajúci plochou, ktorú uzatvára slučka.⁴

Je to veľmi obdobné Gaussovmu zákonu, ktorý už poznáte. Tam počítate podobný integrál \(\oint \vec{E} d\vec{S}\). Aby sme to zhrnuli, Ampérov zákon nám hovorí o tom, aké magnetické pole „preteká“ po krivke a že je úmerné prúdu uzavretému v slučke. Predstavte si, že máme iba tenký nekonečný vodič. V prípade cylindrickej symetrie, bude pole v rovnakej vzdialenosti konštantné. Preto ak si zvolíme kružnicu s polomerom \(r\) okolo vodiča, Ampérov zákon prejde na \[ B 2 \pi r =\mu_0 I_{uz}\text{.} \]

Odtiaľ \(B(r)=\frac{\mu_0 I_{uz}}{2 \pi r }\). Problém je, že takýmto spôsobom sme určili iba obvodovú zložku magnetického poľa, kvôli tomu, že sme robili skalárny súčin s obvodovou zložkou. Magnetické pole by mohlo mať ešte radiálnu alebo zložku v smere osi. Tieto zložky sú nulové. Že to tak bude sa síce dá zistiť z Maxwellových rovníc, ale neučiníme tak, a proste to berieme ako fakt, nakoľko poznáme Ampérovo pravidlo pravej ruky, a pomocou neho vieme určiť smer poľa nekonečného vodiča.

Magnetické pole v hrubom vodiči

Vyjasnime si, ako presne funguje náš vodič. Vodič je celkovo neutrálny, je v ňom rovnako kladných ako záporných nábojov. Za kladné náboje považujeme jadrá atómov. Tieto jadra sú fixované v kryštalickej mriežke vodiča, a v sústave spojenej s ním sa nehýbu.

Pokiaľ teda máme vodič s nezanedbateľnou hrúbkou, stále vieme využiť Ampérov zákon a cylindrickú symetriu. Použitím rovnakých úvah zisťujeme, že magnetické pole vo vnútri vodiča je \[ B(r) = \frac{\mu_0 I_{uz}}{2 \pi r }\text{.} \]

Tu sme urobili zásadné zanedbanie, predpokladáme totiž, že permeabilita vodiča je rovnaká ako permeabilita vákua. Aký prúd ale preteká kružnicou s polomerom \(r\)? Prúd je daný podielom náboja, ktorý pretečie nejakým úsekom vodiču, a času, za ktorý tak učiní. \[ I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{ \rho \Delta V}{\Delta t} = \frac{ \rho S \Delta h}{\Delta t} = \rho S v = \rho \pi r^2 v\text{.} \]

Predchádzajúca rovnica dáva do súvisu magnetické pole s rozložením nábojov a ich rýchlosťami. \(\rho\) označuje hustotu nábojov. Využili sme predpoklad, že hustota vo vodiči je konštantná. Keďže kladné náboje sa vo vzťažnej sústave spojenej s jadrami nepohybujú, ich rýchlosť je nulová a preto ani nevytvárajú magnetické pole, ani necítia jeho účinky. Magnetické pole vytvárajú iba pohybujúce sa elektróny. \[ B(r) = \frac{\mu_0 \rho_- \pi r^2 v}{2 \pi r } = \frac{\mu_0 \rho_- r v}{2}\text{.} \]

\(\rho_-\) označuje hustotu záporných elektrónov. Tu si treba uvedomiť jednu vec: rýchlosť elektrónov tu nie je ich okamžitá rýchlosť, ale rýchlosť, ktorou sa hýbu všetky elektróny po spriemerovaní, teda takzvaná driftová rýchlosť.

Silové pôsobenie na elektróny

Všetky nabité častice cítia elektrickú silu. Nás zaujíma iba sila na elektróny, keďže kladné jadra považujeme za fixované kryštalickou mriežkou.⁵ Avšak pohybujúce sa elektróny cítia okrem toho aj magnetickú silu. Lorentzov zákon sily nám hovorí, že \[ \vec{F}=q\vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B}\text{.} \]

Prvá časť rovnice popisuje, ako súvisí sila, ktorú cíti náboj \(q\) s elektrickým poľom \(\vec{E}\), druhá časť hovorí o súvise s magnetickým poľom. Elektróny cítia nenulovú elektrickú silu v smere osi vodiča. Kvôli nej sa pohybujú vodičom. Avšak cítia aj magnetickú silu, ktorá ich ťahá do stredu vodiča, konkrétne \[ F_{\mathrm{mag}} = q v \frac{\mu_0 \rho_- r v}{2}\text{.} \]

Musíme si vyjasniť smer sily. Premyslite si⁶, ale jej smer bude smerom do vodiča⁷, teda \[ \vec{F}_{mag}=-q v \frac{\mu_0 \rho_- r v}{2} \frac{\vec{r}}{r}\text{.} \]

Kvôli tejto sile sa časť elektrónov nahrnie bližšie ku stredu. Teda hustoty kladných a záporných nábojov nebudú rovnaké. Nahrnutie záporných nábojov do stredu vytvorí dodatočné elektrické pole, ktoré bude balansovať magnetickú silu.

Označme si hustoty elektrónov \(\rho_{-}\) a hustoty jadier \(\rho_{+}\). Gaussov zákon hovorí: \[ \oint \vec{E}\cdot d \vec{S}=\frac{Q_uz}{\epsilon_0}\text{.} \]

Využitím cylindrickej symetrie \[ E 2 \pi r h=\rho \pi r^2 h=(\rho_+ + \rho_-) \pi r^2 h \text{.} \]

Odtiaľ vyjadríme elektrické pole ako \[ E(r)= (\rho_+ + \rho_-) \frac{r}{2 \epsilon_0} \text{.} \]

Aby celková sila na elektróny bola nulová, \[ 0 = q(E(r)+F_{mag})=q((\rho_+ + \rho_-) \frac{r}{2 \epsilon_0}-v \frac{\mu_0 \rho_- r v}{2})\text{.} \]

Z predchádzajúcej rovnice vyjadríme \[ \rho_- = -\frac{\rho_+}{1 - v^2 \mu_0 \epsilon_0} = -\frac{\rho_+}{1 - \frac{v^2}{c^2} }\text{,} \]

kde sme využili známu vedomosť, že \(\mu_0 \epsilon_0=\frac{1}{c^2}\), pričom \(c\) je rýchlosť svetla.

Čiže dostávame zaujímavý výsledok: hustota kladných a záporných častíc nie je vnútri vodiča rovnaká. To je pomerne neintuitívny výsledok, pretože náboj z vodiča zmiznúť nemohol a my sme predsa tvrdili, že vodič je neutrálny. V skutočnosti sa celá situácia zachráni tak, že v úzkej vrstve pri povrchu vodiča nebudú žiadné záporné elektróny, a budú tam iba kladné jadrá. Budú to v podstate dva do seba vnorené valce. Preto sa nejde o žiaden paradox. V reálnych vodičoch je kvôli malým rýchlostiam elektrónov tento efekt pomerne zanedbateľný, ale napríklad v plazme je tento efekt výrazný a nazýva sa pinch effect.

Možno niektorí z vás tušia, že faktor \(\sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2})}\) má niečo spoločné s relativitou. Ako to súvisí s naším príkladom?

Predstavte si, že by sme prešli do sústavy spojenej s pohybujúcimi sa elektrónmi. V tejto sústave elektróny stoja, takže na ne nemôže pôsobiť magnetická sila! Pohybujú sa síce kladné jadrá, a tie vytvárajú magnetické pole, ktoré pôsobí iba na ne samotné. O tých však predpokladáme, že sa vzájomne nepohnú, lebo sú viazané v kryštalickej mriežke kovu. Avšak keď sme prešli do inej vzťažnej sústavy, vďaka relativite došlo ku kontrakcii dĺžky, hustoty sa zmenili, a teraz na elektróny od začiatku pôsobí elektrická sila. Je jednoduché zistiť, aké musia byť jednotlivé kontrahované hustoty. Potom prejdeme do našej pôvodnej sústavy, opäť nezabudneme na kontrakciu, a máme výsledok. Nebudeme tu viac uvádzať, ak vás to zaujalo, veľmi prehľadne je to spísané napríklad tu⁸.