3. Neprofesionálna deformácia vzorové riešenie

Budeme sa zaujímať o spomalenie, ktoré Kvík zažije vo všetkých troch prípadoch. Na to musíme vedieť, aká bude príslušná celková zmena rýchlosti Kvíkovho auta a na akej dráhe sa táto zmena udeje. Je zrejmé, že čím menšia zmena a na čím väčšej dráhe, tým lepšie pre Kvíka. Ako by sme mohli určiť zmenu rýchlosti? Zo zákona zachovania hybnosti, samozrejme. A prečo nie zo zákona zachovania energie? Lebo energia sa pri zrážke bude meniť na iné formy, t. j. nebude platiť nič také že \(\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\mathrm{const}.\)

Museli by ste tam zahrnúť aj energiu potrebnú na pokrútenie plechov, energiu, ktorá sa premení na teplo, atď. Ale zákon zachovania hybnosti platí v izolovanej sústave vždy, nezávisle na tom, koľko pohybovej energie sa premení na iné formy. To je na ňom to najkrajšie. Je jedno, ako sa veci zohrejú, ako budú vibrovať, koľko hluku vznikne a podobne, vždy bude platiť že \(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\) sa zachováva. Odporúčam vám dobre nad tým porozmýšľať, lebo toto je veľmi hlboká myšlienka a asi jedna z najdôležitejších vo fyzike.

Tak sa teda do toho pustime. Predpokladajme dokonale nepružnú zrážku, čo v praxi znamená, že zrazivšie sa objekty sa už po zrážke od seba neoddelia, čím efektívne vytvoria teleso s hmotnosťou \(m_{1}+m_{2}\). Nech je rýchlosť tohto objektu po zrážke \(v\). Potom podľa zákona zachovania hybnosti platí \(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\), odkiaľ \[v=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\text{.}\qquad(1)\]

Už sme povedali, že bude záležať na tom, na akej vzdialenosti sa zrážka udeje. Poďme o tom pouvažovať detailnejšie. Pri náraze do nehybného múru je to zjavné. Asi nikto nepochybuje, že spomalenie sa udeje na dráhe \(\SI{1}{\metre}\). Ale čo v ďalších prípadoch, keď autá idú rôznymi rýchlosťami alebo majú dokonca rôzne hmotnosti? Ako sa medzi ne celková deformačná dĺžka rozdelí?¹ Ak by obe autá išli rovnakou rýchlosťou a boli by rovnako ťažké, situácia by bola symetrická a opäť by bolo zjavné, že každé z áut zastaví v priebehu polovice z celkovej deformačnej dĺžky. Ale čo keď pri rôznych rýchlostiach napríklad rýchlejšie z áut prejde nejakú časť dĺžky skôr a pritlačí sa na druhé auto, a tomu potom zostane menej dráhy alebo ťažšie auto nebude spomaľovať tak veľmi ako ľahké, a preto využije menej z celkovej dĺžky alebo čosi podobné? Vidíme, že riešenie tejto otázky nie je až také priamočiare.

Aby sme vedeli vyriešiť tento problém, musíme sa na celú situáciu pozrieť v správnej vzťažnej sústave. V prvom rade si uvedomme, že prejdená dráha jednotlivých objektov závisí na voľbe vzťažnej sústavy. Tak napríklad nehybný múr vo vzťažnej sústave spojenej s cestou počas zrážky neprejde žiadnu dráhu, no vo vzťažnej sústave pohybujúcej sa vzhľadom na cestu nenulovou rýchlosťou prejde počas zrážky nenulovú dráhu. Ak by sme uvažovali nejakú vzhľadom na cestu rýchlo sa pohybujúcu vzťažnú sústavu, oba objekty v nej prejdú počas zrážky obrovské dráhy, ktorých súčet zjavne nie je rovný deformačnej dĺžke.² Nie je až tak zložité nahliadnuť, že ich súčet je rovný deformačnej dĺžke len vo vzťažnej sústave, v ktorej sú oba objekty po zrážke v pokoji.

Presuňme sa teda do tejto sústavy. Už vieme, že vzhľadom na cestu sa táto vzťažná sústava pohybuje rýchlosťou \(v\) určenou vzťahom  1. Rýchlosti objektov v tejto vzťažnej sústave sú potom \[\tilde{v}_{1,2}=v_{1,2}-v=\frac{m_{2,1}}{m_{1}+m_{2}}\left(v_{1,2}-v_{2,1}\right)\text{.}\qquad(2)\] Túto vzťažnú sústavu budeme nazývať ťažiskovou, pretože v nej má spoločný hmotný stred zrážajúcich sa objektov nulovú rýchlosť.

Zaujímame sa o zrýchlenia objektov počas zrážky. Ťažisková sústava má tú výhodu, že zrazivšie sa objekty sú v nej po zrážke v pokoji.³ To znamená, že dráhu prejdenú počas zrážky vypočítame jednoducho podľa vzťahu \(s_{1,2}=\frac{1}{2}a_{1,2}t^{2}\). Vzhľadom na to, že za čas \(t\) musí klesnúť rýchlosť objektov z ich počiatočných rýchlostí v ťažiskovej sústave až na nulu, tak \(t=\frac{\tilde{v}_{1,2}}{a_{1,2}}\) a po dosadení do vzťahu pre dráhu dostávame vyjadrenie pre zrýchlenie \[a_{1,2}=\frac{\tilde{v}_{1,2}^{2}}{2s_{1,2}}\text{.}\qquad(3)\]

A teraz späť k tým dráham. Vieme, že autá musia spomaliť na dráhach, ktoré dokopy dajú celkovú deformačnú dĺžku \[L=s_{1}+s_{2}\text{.}\qquad(4)\] Ale ako si ju rozdelia? Na to sa musíme trošku zamyslieť. Vieme, že autá počas zrážky pôsobia na seba vzájomne silou. Podľa tretieho Newtonovho zákona platí \(m_{1}a_{1}=m_{2}a_{2}\). Ale my predsa poznáme aj vzťah medzi zrýchlením, dráhou a časom, ktorý sme spomínali pred chvíľou, podľa ktorého \(a_{1,2}=\frac{2s_{1,2}}{t^{2}}\). Skombinujúc tieto tri rovnice dostávame \[m_{1}s_{1}=m_{2}s_{2}\text{.}\qquad(5)\] A máme čo sme chceli! Vozidlá si deformačnú dĺžku rozdelia v opačnom pomere svojich hmotností. Takže čím ťažšie auto, tým menej si zoberie. Odporúčam vám dobre si to premyslieť, lebo toto je celkom neočividný výsledok.⁴

Teraz už máme všetko, čo potrebujeme, aby sme mohli nájsť spomalenie Kvíkovho auta. Rovnice  4 a  5 prezrádzajú, koľko si z deformačnej dĺžky jednotlivé objekty odnesú \[s_{1,2}=\frac{m_{2,1}L}{m_{1}+m_{2}}\text{.}\qquad(6)\] Po dosadení  2 a  6 do  3 konečne dostávame hľadané zrýchlenia \[a_{1,2}=\frac{m_{2,1}}{m_{1}+m_{2}}\frac{\left(v_{1}\mp v_{2}\right)^{2}}{2L}\text{.}\qquad(7)\]

Teraz sa môžeme pozrieť na jednotlivé situácie:

Zrážka s múrom

Zadanie nám hovorí, že múr môžeme považovať za dokonale tuhý, čo znamená, že do celkovej deformačnej dĺžky nijako neprispieva, teda \(L=\SI{1}{\metre}\), a nekonečne ťažký, čiže \(m_{2}\to\infty\). V takom prípade výraz sa \(\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) s narastajúcim \(m_{2}\) blíži k \(1\). Navyše múr je nehybný, preto \(v_{2}=\SI{0}{\kilo\metre\per\hour}\). Potom rovnica { 7} vedie na \(a_{1}=\frac{v_{1}^{2}}{2L}\doteq\SI{272}{\metre\per\second\squared}\).

Zrážka s autom

Protiidúce auto má rovnakú hmotnosť \(m_{2}=m_{1}\) a keďže ide opačným smerom, má zápornú rýchlosť \(v_{2}=\SI{-72}{\kilo\metre\per\hour}\). Obe autá majú rovnako veľkú deformačnú zónu, preto celková deformačná dĺžka je \(L=\SI{2}{\metre}\). V takom prípade \(a_{1}=\frac{\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}}{4L}\doteq\SI{235}{\metre\per\second\squared}\).

Zrážka s kamiónom

Kamión má deformačnú zónu dlhú \(\SI{20}{\centi\metre}\), teda celková deformačná dĺžka je \(L=\SI{1.2}{\metre}\) a jeho rýchlosť je \(v_{2}=\SI{-24}{\kilo\metre\per\hour}\). V tomto prípade \(a_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\frac{\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}}{2L}=\SI{312.5}{\metre\per\second\squared}\).

Najlepší scenár je B!

Teraz môžeme porozmýšľať o hodnotách zrýchlení, ktoré nám vyšli. Sú vysoké alebo nízke? Aká by asi bola šanca na prežitie? Samozrejme, že zrýchlenia sú vysoké. Ale určite prežiteľné. Treba si uvedomiť, že účinky prudkej zmeny rýchlosti (napríklad nárazu) na človeka nemusia závisieť iba od zrýchlenia. Tak ako samotný pojem „rýchlosť“ vyjadruje mieru menenia polohy a zrýchlenie vyjadruje mieru menenia rýchlosti, tak aj zrýchlenie sa v čase nejako vyvíja, mení sa. To znamená, že musí existovať veličina, ktorá popisuje rýchlosť menenia zrýchlenia. Keď idete v autobuse a ten náhodou prudko zabrzdí, trhne to s vami. Zrýchlenie autobusu ani nemuselo byť až také prudké, avšak rýchlosť, akou sa to zrýchlenie objavilo, mohla byť veľmi vysoká. To pociťujete ako trhnutie, alebo myknutie. Táto veličina sa nazýva ryv. Anglický termín je *“jerk“*, čo by sa naozaj dalo preložiť ako trhnutie.

A čo sa týka zrýchlení, tiež pre zdravotné následky záleží na tom, ako dlho je mu človek vystavený. V našich príkladoch vychádza čas pod jednu desatinu sekundy. Dlhodobo je tolerovateľné zrýchlenie asi 3-násobok gravitácie, toľko zažívajú napríklad astronauti počas štartu na obežnú dráhu po dobu niekoľkých minút. Pilot stíhačky môže pri prudkej zmene smeru pocítiť až \(\SI{9}{g}\). A aké je maximálne (dlhodobejšie, t.j. nie len počas desatín alebo stotín sekundy) zmerané zrýchlenie, aké človek prežil? Po druhej svetovej vojne sa istý lekár menom John Stapp⁵ podrobil experimentom, keď ho posadili na sedadlo na koľajniciach a urýchľovali raketovým motorom. Počas jednej z jázd to bolo \(\SI{46.2}{g}\) počas \(\num{1.4}\) sekundy. Teda ešte o \(\SI{150}{\metre\per\second\squared}\) viac ako pri zrážke s nákladiakom. A prežil bez akýchkoľvek následkov!