7. Vesmírne prázdniny vzorové riešenie

Zadanie

Malá planétka si obieha po svojej dráhe s numerickou excentricitou \(e\) a je jej veľmi zima. Nevie sa dočkať, kedy sa konečne dostane blízko k Slnku, aby sa ohriala. Planétka si však je vedomá toho, že letnú dovolenku si treba poriadne naplánovať. A aby si svoj čas vedela správne rozvrhnúť, potrebuje presne vedieť, ako dlho bude jej pobyt v teple trvať. Vedeli by ste planétke povedať, akú časť jedného obehu strávi v teplejšej polovici svojej eliptickej dráhy?

Základom bolo sa tejto úlohy nezľaknúť. Na prvý pohľad možno vyzerá celkom desivo¹, veď pohyb po elipse v centrálnom poli je nepravidelný, rýchlosť sa neustále mení a výsledné riešenie pohybových rovníc je hnusne komplikované. Pravdaže, integrovaním sa dá vyriešiť mnoho vážnych životných problémov a toto náhodou je jeden z nich. Hlbšie zamyslenie však rýchlo ukáže, že sa dá vyriešiť rýchlo a priamočiaro. Ukážeme si, ako použiť nejaké kladivo, ktoré poznáme². Napríklad druhý Keplerov zákon.

Ctený kolega Kepler svojho času analyzoval veľmi presné a detailné pozorovania pohybov planét. Pri dôkladnom prežúvaní dát prišiel na to, že planéty sa pohybujú po elipsách a že plošná rýchlosť, ktorou sprievodič planéty „zametá“ plochu dráhy, je konštantná. Sprievodičom sa rozumie úsečka spájajúca bod, do ktorého nás sila ťahá (teda v našom prípade Slnko) s telesom. Teda keď sa na planétu pozrieme v dvoch rôznych okamihoch, vzdialených v čase \(\Delta T\), zametená plocha bude vždy rovnaká, nezávisle na čase a presnej polohe telesa.

Na dôkladnejšie vysvetlenie, prečo to tak je, však prišiel až občan Newton. Druhý Keplerov zákon je v skutočnosti iba dôsledkom zákona zachovania momentu hybnosti. Centrálna sila, teda v našom prípade gravitačná, totiž moment hybnosti meniť nemôže – jej zložka, kolmá na polohový vektor, je predsa nulová. Lepšie to uvidíme, keď si nakreslíme maličký úsek dráhy:

Plocha trojuholníka zameteného za malý čas \(\mathrm{d}t\) je zjavne rovná polovici plochy rovnobežníka, ktorého plochu vieme vyjadriť vektorovým súčinom \(\vec{r} \times \vec{v}\). No a moment hybnosti je – až na konštantu \(m/2\) – vyjadrený zjavne tým istým výrazom: \[ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m \vec{v} = m \vec{r} \times \vec{v}\text{,} \] takže oba zákony tu popisujú tú istú skutočnosť.

No a teraz k úlohe. Najprv si dôkladne zanalyzujeme elipsu a zamyslíme sa, čo o nej vieme zistiť. Vzdialenosť ohniska od geometrického stredu elipsy udáva lineárna excentricita \(ae\), kde \(a\) je dĺžka jej hlavnej (dlhšej) polosi. \(e\) je numerická excentricita, spomenutá v zadaní, teda bezrozmerné číslo, ktoré udáva, ako veľmi je elipsa sploštená. Napríklad pre \(e = 0\) dostávame kružnicu. Plocha celej elipsy je \(\pi a b\), kde \(b\) je dĺžka vedľajšej (kratšej) polosi. Nakoniec si ešte povieme, že medzi tromi spomenutými hodnotami platí vzťah \[ b = a\sqrt{1 - e^2}\text{,} \] ale ako neskôr zistíme, nebudeme ho vôbec potrebovať poznať.

Teraz si dráhu nakreslíme znovu, aj s označením význačných bodov:

A ďalej to už pôjde rýchlo. Z druhého Keplerovho zákona vyplýva, že pomer doby strávenej v teplejšej polovici dráhy k celej perióde obehu je rovnaký, ako pomer plochy sivej eliptickej výseče \(ASB\) k ploche celej elipsy. Plochu výseče vieme spočítať ľahko, je to rozdiel plochy polovice elipsy a trojuholníka \(ASB\), čiže \[ \frac{\pi ab}{2} - 2 \frac{ae\cdot b}{2} = ab\left(\frac{\pi}{2} - e\right)\text{.} \]

To už iba dáme do pomeru s plochou celej elipsy a hľa, máme výsledok: \[ \frac{ab\left(\frac{\pi}{2} - e\right)}{\pi ab} = \frac{\frac{\pi}{2} - e}{\pi} = \frac{1}{2} - \frac{e}{\pi}\text{.} \]

Na záver si ukážeme jednoduchú, ale zaujímavú vec: totiž, že tento pomer nikdy neklesne pod určitú nenulovú konštantu. Na prvý pohľad by sme mali vidieť, že najväčší bude vtedy, keď sa excentricita bude blížiť k \(1\), teda dráha bude veľmi „pretiahnutᓳ. Pre hraničný prípad \(e = 1\) dostávame nezvyklé číslo \(\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} = \frac{\pi - 2}{2\pi} \doteq \num{0.1817}\). Toto by už síce bola parabola, nič nám však nebráni zobrať ľubovoľné číslo o trošku menšie od \(1\).

Takže každá planéta musí v slnečnejšej polovici svojej dráhy stráviť najmenej \(\SI{18.17}{\percent}\) času – o niečo viac, než šestinu svojej obežnej doby.

Komentár k riešeniam

Jedinou a najhoršou chybou, ktorú ste tu mohli spraviť, bolo úlohu neriešiť, pretože na sedmičku bola skutočne neobvykle ľahká⁴. Prakticky všetky riešenia boli správne a okrem jedného v podstate identické so vzorákom, navyše v drvivej väčšine aj deväťbodové. Z plného počtu som všetkým dokopy strhol len tri body, všetko za drobné numerické nezrovnalosti.

Večnú česť a slávu získava Matúš Kopunec, ktorý ako jediný na problém vytiahol najťažší kanón a správne riešenie doslova vymlátil cez polárne súradnice a excentrickú anomáliu. Nuž, keď hrubá sila nepomáha, je to len príznak, že jej nepoužívate dosť.