7. Kvíkove vesmírne gule vzorové riešenie

Úloha nie je nijak matematicky náročná, je však dôležité správne poskladať všetky známe fakty a nenechať sa odlákať k integrálom a diferenciálnym rovniciam skôr, než ju detailne pochopíme.

Zároveň treba spraviť niekoľko rozumných predpokladov, aby sme to zvládli dopočítať. Napríklad že

• veľkosť gúľ je omnoho väčšia, ako vlnová dĺžka dopadajúceho svetla,
• ich hmotnosť je rovnaká a zanedbateľná oproti hmotnosti hviezdy,
• ich vzájomné gravitačné pôsobenie je zanedbateľné,
• hviezdu môžeme považovať za bodový zdroj,
• a napokon to, že gule nemajú vlastný zdroj pohonu.

Samozrejme, ak ste to dokázali bez nich, plný počet bodov vás neminul. A teraz už poďme rozmýšľať.

V prvom rade by sme mali mať na pamäti, že pokiaľ sú hmotnosti telies zanedbateľné voči hmotnosti centrálneho telesa, nebude na nich vôbec záležať. Toto je zjavne náš prípad, takže rôzne dráhy gúľ teda musia byť spôsobené niečím iným, než rôznymi hmotnosťami. Avšak aj keď zadanie explicitne nehovorí, že hmotnosť gúľ je rovnaká, je to dôležité. Ak by napríklad jedna z gúľ mala veľmi malú hustotu, gravitačné pôsobenie by bolo slabšie, ale sila žiarenia by ostala rovnaká a guľa by hneď uletela, pretože by ju žiarenie odtlačilo. Toto je takisto dôvod, prečo musia byť solárne plachetnice vyrobené z extrémne tenkej fólie.

Teda jediné, čím sa gule od seba líšia, sú ich rozličné farby, alebo presnejšie povedané, rozličná odrazivosť. Hviezda intenzívne žiari a teda vysiela veľké množstvo fotónov, ktoré pri zrážkach s guľami môžu odovzdať svoju hybnosť a tak meniť ich pohybový stav. Pre reálnu hviezdu je tento tlak veľmi malý¹, v našom prípade sa ale ukáže, že to tak veru nebude. Ako sa teda budú prejavovať jednotlivé materiály?

Priesvitná guľa

Priesvitná guľa bude fotóny veselo ignorovať a poletí tak, ako jej káže Newtonov gravitačný zákon. S touto znalosťou vieme vypočítať jej rýchlosť, a teda aj pôvodnú rýchlosť ostatných gúľ na začiatku pohybu. Napríklad tak, že vieme, že našou dostredivou silou je gravitačná. Položíme teda známe vyjadrenia do rovnosti: \[\frac{GMm}{q^2} = \frac{mv^2}{q}\text{,}\] \[v = \sqrt{\frac{GM}{q}}\text{,}\]

kde \(M\) je hmotnosť hviezdy a \(m\) hmotnosť gule za predpokladu, že \(M \gg m\).

Čierna guľa

Čierna guľa absorbuje každý fotón, ktorý sa s ňou stretne. S trochou zamyslenia a následného integrovania by sme možno vedeli spočítať priemernú intenzitu a tok žiarenia… skúsime si však vystačiť bez tejto informácie. Uvedomíme si len, že celková sila, ktorá ju odtláča od hviezdy, musí mať presne takú veľkosť a smer, že keď sa zloží s gravitačnou silou, ťahajúcou guľu ku hviezde, musí vo výsledku viesť k parabolickej dráhe. Zo symetrie gule vzhľadom na os smerujúcu do hviezdy je zrejmé, že zložky kolmé na túto os sa navzájom vyrušia a ostane iba výsledná sila smerujúca radiálne od hviezdy. Ostáva nám určiť jej veľkosť.

Tu si pripomenieme divne vyzerajúci predpoklad z prvého odseku. Že vraj gule nemajú vlastný zdroj pohonu? A prečo by akože mali mať? No veru že mať môžu – konkrétne čierna guľa fotóny absorbuje, čiže pohlcuje ich energiu. Po krátkom čase by sa zohriala a začala vyžarovať vlastné žiarenie dokonale čierneho telesa. Ak však nie je dokonale tepelne vodivá a nedajbože ešte rotuje, fotóny nebudú vyžiarené do všetkých smerov rovnako, a výsledkom bude ďalšia nezanedbateľná sila. Pre skutočné asteroidy je táto sila veľmi dôležitá, aj keď je veľmi malá.² Budeme teda predpokladať, že naša guľa sa zohrieva rovnomerne a vyžaruje do všetkých smerov rovnako, takže výsledný efekt je nulový.

Ako teda určíme veľkosť? Sila žiarenia pôsobí proti gravitačnej sile a teda výsledné správanie sa gule bude také, ako keby sme gravitačnú silu zmenšili – teda naša „efektívna“ hodnota \(G\), ktorú si označíme \(G'\), bude o niečo menšia. Zároveň ale platí, že aj gravitačná sila, aj sila od fotónov, klesá s druhou mocninou vzdialenosti. Takže ak guľa odletí do vzdialenosti \(k\cdot q\), obe sily budú \(k^2\)-krát menšie. To ale znamená, že ich vzájomný pomer ostane rovnaký! Potom musí platiť, že \(G' = \alpha G\), kde \(\alpha\) je nejaká konštanta.

Pre parabolickú dráhu platí, že rýchlosť telesa v nekonečne je nulová – inými slovami, že súčet kinetickej a potenciálnej energie voči nekonečnu je v každom okamihu, aj v \(t = 0\), rovný nule. Takže si obe energie zapíšeme, berúc novú hodnotu \(G' = \alpha G\): \[\frac{mv^2}{2} - \frac{\alpha GMm}{q} = 0\text{,}\] \[v^2 = \frac{2\alpha GM}{q}\text{.}\]

Pôvodnú rýchlosť \(v\) ale už poznáme vďaka priehľadnej guli, takže ju sem môžeme dosadiť: \[\frac{GM}{q} = \frac{2\alpha GM}{q}\text{,}\] \[\alpha = \frac{1}{2}\text{.}\]

Takže v prípade čiernej gule musí byť sila pochádzajúca od fotónov polovičná oproti gravitačnej. A keď ich vektorovo sčítame (čiže odčítame veľkosti, keďže pôsobia proti sebe), vidíme, že výsledná sila bude takisto polovičná.

Guľa s odrazkami

Tretia guľa je ešte vyšší level od čiernej – nielenže pohltí hybnosť každého fotónu, ale navyše ešte vyšle ďalší fotón späť. Odrazka, akú mávame napríklad na bicykli, totiž v ideálnom prípade každý fotón pošle presne tam, odkiaľ prišiel. Radiálne zložky síl síce budú stále prítomné, ale opäť sa vyrušia, takže odrazené fotóny takisto vytvárajú výslednú silu v smere od hviezdy. Všetko si to zhrnieme v obrázku:

Takže na tretiu guľu pôsobí každý fotón dvakrát silnejšie, ako na čiernu a teda aj celková sila bude dvojnásobná. Pôvodná sila za absorbované fotóny nám znížila efektívne \(G\) o polovicu, nová sila ho znovu zníži ešte o ďalšiu polovicu pôvodnej hodnoty. Výsledné efektívne \(G\) je teda nulové a guľa sa bude pohybovať rovnomerne priamočiaro v rovnakom smere, v akom ju Kvík hodil.

Všetko spolu

Nakoniec si to všetko zhrnieme a zodpovieme na otázku. Po jednom obehu sa priehľadná guľa samozrejme vráti na svoje pôvodné miesto, takže jej výsledný posun bude nulový. Guľa s odrazkami zatiaľ letí konštantnou rýchlosťou po priamke, takže za rovnaký čas preletí dráhu \(2 \pi q\). Hneď vidíme, že hľadaná vzdialenosť je jednoducho \(2 \pi q\).

Bonus

Bonusová otázka už takto ľahko vyriešiť nejde, budeme musieť použiť nejaké mocnejšie nástroje. Vhodnou kombináciou je druhý Keplerov zákon (teda zákon zachovania momentu hybnosti) a určitý integrál, alebo pre pokročilejších nebeských mechanikov Barkerova rovnica. Ukážeme si prvý postup.

Keďže na začiatku pohybu je rýchlosť aj poloha všetkých troch gúľ rovnaká, musí byť rovnaký aj ich špecifický moment hybnosti \(C = r^2 \dot{\phi}\). Čiže plošná rýchlosť, ktorou rovinu dráhy zametá sprievodič každej gule, je takisto konštantná a pre všetky gule rovnaká… a z toho vyplýva, že aj po jednom obehu priehľadnej gule budú musieť byť zametené plochy, zodpovedajúce jednotlivým guliam, rovnaké:

Už vieme, že plocha opísaná sprievodičom priehľadnej gule je plochou kružnice s polomerom \(q\), čiže \(\pi q^2\). Plocha opísaná sprievodičom gule s odrazkami je rovná ploche pravouhlého trojuholníka \(STR\) s odvesnami \(q\) a \(2 \pi q\), čiže opäť \(\pi q^2\).

Čo však s čiernou guľou? Zorientujme si našu sústavu tak, aby jej dráha bola popísateľná rovnicou paraboly \(y = kx^2\) pre nejakú konštantu \(k\). V takejto sústave guľa doletí do bodu so súradnicami \(x_{\mathrm{B}}\) a \(y_{\mathrm{B}}\). Plocha opísaná sprievodičom bude je rozdielom plochy obdĺžnika \(BXTY\) so stranami \(x_{\mathrm{B}}\) a \(y_{\mathrm{B}}\), plochy trojuholníka \(BYS\) a plochy pod parabolou medzi bodmi \(0\) a \(x_{\mathrm{B}}\).

Poďme najprv určiť rozmery paraboly. Jej rovnica v polárnych súradniciach je \(r = \frac{p}{1 + e \cos{\phi}}\), pričom uhol budeme merať od smeru proti osi \(y\). Odtiaľ by sme mali vidieť, že pre \(\phi = \ang{90}\), teda v smere rovnobežnom s osou \(x\), musí byť \(r = p = 2q\), takže parabola prechádza bodom \([2q, q]\). S touto znalosťou už vieme určiť konštantu \(k = \frac{1}{4q}\), a teda rovnica našej paraboly bude \[y = \frac{x^2}{4q}\]

a pre súradnice \(x_{\mathrm{B}}\), \(y_{\mathrm{B}}\) bude platiť \[y_{\mathrm{B}} = \frac{x_{\mathrm{B}}^2}{4q}\text{.}\]

Teraz už vieme spočítať plochu obdĺžnika ako \[S_{\mathrm{B}} = x_{\mathrm{B}} \cdot y_{\mathrm{B}} = \frac{x_{\mathrm{B}}^3}{4q}\]

a plochu trojuholníka ako \[S_1 = \frac{x_{\mathrm{B}} \cdot \left(y_{\mathrm{B}} - q\right)}{2} = \frac{x_{\mathrm{B}}^3}{8q} - \frac{qx_{\mathrm{B}}}{2}\text{.}\]

Plochu pod parabolou nájdeme ako určitý integrál \[S_2 = \int\limits_{0}^{x_{\mathrm{B}}} \frac{x^2}{4q}\,\mathrm{d}x = \frac{x_{\mathrm{B}}^3}{12q}\text{.}\]

No a keď to všetko zložíme dokopy, dostaneme vyjadrenie plochy zametenej sprievodičom, o ktorej už vieme, že musí byť rovná ploche kružnice prislúchajúcej priehľadnej guli: \[ S_{\mathrm{B}} - S_1 - S_2 = \frac{x_{\mathrm{B}}^3}{4q} - \frac{x_{\mathrm{B}}^3}{8q} + \frac{qx_{\mathrm{B}}}{2} - \frac{x_{\mathrm{B}}^3}{12q} \overset{!}{=} \pi q^2\text{.} \]

Jednoduchými úpravami môžeme túto rovnicu prepísať do tvaru \[ \left(\frac{x_{\mathrm{B}}}{q}\right)^3 + 12\left(\frac{x_{\mathrm{B}}}{q}\right) - 24\pi = 0\text{,} \]

s ktorým si už Wolfram|Alpha vie poradiť. Keď vypočítame aj \(y_{\mathrm{B}}\), zistíme, že výsledná poloha čiernej gule v našich súradniciach je \(x_{\mathrm{B}} = \num{3.297}\ q\) a \(y_{\mathrm{B}} = \num{2.717}\ q\). Z Pytagorovej vety ľahko dopočítame vzdialenosti k priehľadnej guli \(d_t \doteq \num{4.272}\ q\) a k odrazkovej \(d_r \doteq \num{4.038}\ q\).

Komentár k riešeniam

Poradili ste si s tým celkom pekne, najmä sa mi páčilo, ako ste si uvedomovali, čo treba zanedbať (hlavne Dvojka by solídne zapadol do ľubovoľnej krčmovej diskusie). Viacerí ste písali o hyperbolických dráhach gule s odrazkami. Istým spôsobom to je pravda, ale tá priamka je len riadne zdegenerovaná hyperbola (s nekonečnou excentricitou).

Bonus si zjavne zaslúžil iba dve kompletné riešenia: numerickú simuláciu od Legolasa, ktorý pekne upravil riešenie minuloročnej úlohy; a večnú česť a slávu za úplné a správne analytické riešenie pomocou Barkerovej rovnice získava Myšel :-)