2. Časticový psychológ vzorové riešenie

To, že sa molekuly hýbu z miest s vyššou koncentráciou do miest s nižšou koncentráciou, je známy fakt, ktorý nám býva predostrený v škole. Dôvod, prečo to tak je, sa však väčšinou zamlčí. A pritom nejde o nič zložité. Zamyslime sa nad tým, čo sa v takom roztoku deje.

V prvom rade je rozumné predpokladať, že molekuly nemajú slobodnú vôľu, a teda sa nemôžu rozhodovať, kam pôjdu. Pravdepodobne za tým nebude ani ich autizmus a snaha izolovať sa od okolia. V takom prípade nám zostávajú snáď len fyzikálne zákony. A v duchu Occamovej britvy poďme hľadať hneď to najjednoduchšie riešenie. No a čo môže byť jednoduchšie, než náhodný pohyb?

Vieme, že molekuly kvapalín vykonávajú chaotický pohyb. Počas toho narážajú aj do molekúl prímesi, ktorých pohyb je jednoznačne determinovaný pohybovými rovnicami. Nájsť ich riešenie je však vzhľadom na množstvo interagujúcich molekúl nemožné. Preto treba problém uchopiť štatisticky.

Uvažujme nejakú nádobu, pre jednoduchosť s jednozložkovým roztokom, pričom koncentrácia prímesi nie je v celom objeme konštantná. Rozdeľme nádobu na myslené kocôčky s dĺžkou hrany \(a\). Veľkosť kocôčok volíme tak, aby sa koncentrácia v jednotlivých kocôčkách dala považovať za konštantnú. Ďalej uvažujme kratučký časový úsek \(\tau\). Aký krátky má byť? Zhruba taký, aby zodpovedal dobe medzi dvomi nasledujúcimi zrážkami jednej konkrétnej molekuly.

Nech \(P\) označuje pravdepodobnosť, že keď do niektorej kocôčky náhodne umiestnime jednu molekulu prímesi, tá za čas \(\tau\) túto kocôčku opustí. Uvedomme si, že pravdepodobnosť \(P\) závisí len od strednej rýchlosti molekúl, a teda od teploty. Ak je však teplota v celom objeme rovnaká, táto pravdepodobnosť je spoločná pre všetky kocôčky.

Pozrime sa teraz na dvojicu susedných kocôčiek s koncentráciami \(n_{1}\) a \(n_{2}\). V kocôčke „1“ je \(N_{1}=n_{1}a^{3}\) molekúl. V priemere ju preto za čas \(\tau\) opustí \(N_{1}^{out}=Pn_{1}a^{3}\) molekúl a z toho do kocôčky „2“ sa dostane v priemere \(N_{12}=\frac{1}{6}Pn_{1}a^{3}\). Keď použijeme rovnakú úvahu aj pre kocôčku „2“, dostaneme \(N_{21}=\frac{1}{6}Pn_{2}a^{3}\).

V kocôčke „1“ sa počet molekúl prechodom cez jedinú spoločnú stenu zmení o \(\Delta N_{1}=\frac{1}{6}P\left(n_{2}-n_{1}\right)a^{3}\) a v kocôčke „2“ o \(\Delta N_{2}=\frac{1}{6}P\left(n_{1}-n_{2}\right)a^{3}\). Predpokladajme, že pôvodne bola vyššia koncentrácia v kocôčke „1“, teda \(n_{1}>n_{2}\). Potom \(\Delta N_{1}<0\) a \(\Delta N_{2}>0\). Vidíme teda, že v kocôčke s vyššou koncentráciou počet molekúl prímesi poklesol, zatiaľ čo v kocôčke s nižšou koncentráciou vzrástol, teda rozdiel v koncentráciách sa znížil.¹ Tento proces bude pokračovať až dovtedy, kým sa koncentrácie v oboch kocôčkách nevyrovnajú.

Náš model s náhodným pohybom dal presne ten výsledok, ktorý pozorujeme experimentálne. Molekuly roztoku prechádzajú z miest s vyššou koncentráciou do miest s nižšou koncentráciou a tá sa vyrovnáva. Ak ste našli iné riešenie, pokojne ho zahoďte, lebo podľa Occama je správne to naše. Na záver si všimnime, že koncový stav systému je taký, ktorý má najvyššiu možnú mieru neusporiadanosti, tzv. entropiu. Je to v súlade s tým, že pri všetkých termodynamických pochodoch entropia izolovaného systému neklesá.