3. Párty na Mlynoch vzorové riešenie

Zadanie

Kubo sa dal na ďalšiu hipsterinu… tentokrát na domáce pečenie chleba. Dokonca si skonštruoval aj vlastný „mlyn“ – pravda, zatiaľ len fyzikálnu hračku. Kubov mlyn pozostáva zo štyroch ramien dĺžky \(\SI{30}{\centi\metre}\), na koncoch ktorých sú upevnené závažia s hmotnosťami \(1\), \(2\), \(3\) a \(\SI{4}{\kilo\gram}\). Mlyn sa môže voľne otáčať okolo priesečníka ramien. Na začiatku ho Kubo drží nehybný v polohe naznačenej na obrázku. Akú maximálnu obvodovú rýchlosť dosiahnu závažia pri svojom pohybe po tom, ako ho uvoľníme?

Predpokladajme, že pri pohybe mlynu naň nepôsobia žiadne trecie sily (trenie na osi otáčania, odpor vzduchu). V takom prípade musí nevyhnutne platiť zákon zachovania energie. Aby sme vedeli efektívne počítať s potenciálnou energiou, potrebujeme nájsť polohu ťažiska mlynu. Uvažujme, že ramená mlynu sú nehmotné. V takom prípade je jeho ťažisko určené len štvoricou závaží na koncoch ramien.

Zaveďme súradnicovú sústavu s počiatkom na osi otáčania mlynu a so štandardne orientovanými osami. Múdre knihy hovoria, že x-ovú súradnicu ťažiska nájdeme podľa vzťahu¹ \[x_{0}=\frac{\underset{i}{\sum}m_{i}x_{i}}{\underset{i}{\sum}m_{i}}\text{.}\]

Pre zjednodušenie zápisov zaveďme označenie \(\underset{i}{\sum}m_{i}\stackrel{ozn}{=}M\), čo nie je nič iné než celková hmotnosť mlynu \(M=\SI{10}{\kilo\gram}\). Ale späť k ťažisku! Po dosadení číselných hodnôt dostávame \(x_{0}=\SI{-6}{\centi\metre}\). Úplne analogicky pre y-ovú súradnicu ťažiska platí \[y_{0}=\frac{\underset{i}{\sum}m_{i}y_{i}}{M}=\SI{6}{\centi\metre}\text{.}\] Ťažisko mlynu je teda od osi otáčania vzdialené o \(r=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=\SI[parse-numbers = false]{6\sqrt{2}}{\centi\metre}\).

Zadanie hovorí, že ak mlyn uvoľníme, roztočí sa. Ale prečo sa tak vlastne stane? Odpoveď na to je jednoduchá. Tiažová sila pôsobí v ťažisku,² a to je v x-ovom smere vzdialené od osi otáčania o \(x_{0}\), teda tiažová sila má nenulový moment \(\tau=Mgx_{0}\), ktorý spôsobuje roztáčanie mlynu proti smeru pohybu hodinových ručičiek.

Ako sa mlyn začne roztáčať, jeho ťažisko klesá, čím klesá aj potenciálna energia mlynu. Zároveň však rastie jeho kinetická energia. Na základe zákona zachovania energie musí platiť, o koľko klesne potenciálna energia, presne o toľko musí kinetická energia vzrásť, keďže sme predpokladali nulové straty energie. Je zrejmé, že mlyn dosiahne najnižšiu potenciálnu energiu v momente, keď sa jeho ťažisko nachádza presne pod osou otáčania. V takom prípade je pokles potenciálnej energie oproti počiatočnému stavu \[\Delta E_{\mathrm{pot}}=Mg\Delta h=Mg\left(y_{0}+r\right)\text{.}\]

Už sme uviedli, že potenciálna energie sa postupne premieňa na kinetickú a naopak. Lenže akú kinetickú energiu má mlyn, keď sa otáča? Má len rotačnú energiu? Alebo má aj nejakú translačnú energiu? Alebo žeby len translačnú energiu? To závisí od toho, ako sa na to pozrieme.

Úplne najprirodzenejší pohľad je, že mlyn sa otáča okolo osi otáčania. V takom prípade má rotačnú energiu \(E_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2}J\omega^{2}\), kde \(J\) je moment zotrvačnosti mlynu okolo osi otáčania a \(\omega\) je uhlová rýchlosť. Moment zotrvačnosti je definovaný ako \(J=\underset{i}{\sum}m_{i}r_{i}^{2}\), kde \(m_{i}\) je hmotnosť i-tého hmotného bodu a \(r_{i}\) je jeho vzdialenosť od osi otáčania. V našom prípade \(r_{i}=a\) pre všetky možné hodnoty \(i\), čo je dĺžka ramena mlynu. V takom prípade \(J=\underset{i}{\sum}m_{i}a^{2}=Ma^{2}\) a potom \[E_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2}Ma^{2}\omega^{2}\text{.}\]

Rovnako dobre však môžeme uvažovať, že závažia sa pohybujú po kružnici s polomerom \(a\) obvodovou rýchlosťou \(v=a\omega\). V takom prípade majú translačnú kinetickú energiu \[E_{\mathrm{tran}}=\underset{i}{\sum}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}=\frac{1}{2}\underset{i}{\sum}m_{i}v^{2}=\frac{1}{2}Mv^{2}\text{.}\] To však nie je všetko. Predstavme si, že mlyn sa otočí o \(\SI{180}{\degree}\). V takom prípade, keď sa pozrieme na jednotlivé závažia, čísla na nich budú otočené takpovediac upside-down. To však nejde dosiahnuť len čisto translačným pohybom, ale súčasne treba uvažovať aj nejakú rotáciu. Konkrétne každé zo závaží ešte rotuje okolo svojho ťažiska uhlovou rýchlosťou \(\omega\), aby sa pretočilo práve raz, kým obehne jedno kolečko. To ale znamená, že by malo mať aj nejakú rotačnú kinetickú energiu. Ako sme už uviedli, rotačnú energiu počítame podľa vzťahu \(E_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2}J\omega^{2}\), kde \(J=\underset{i}{\sum}m_{i}r_{i}^{2}\). Lenže v prípade závažia tvoreného jediným hmotným bodom \(J=\underset{i}{\sum}m_{i}r_{i}^{2}=m_{1}r_{1}^{2}\) a vzdialenosť tohto hmotného bodu od osi otáčania (ťažiska závažia) je \(r_{1}=0\), teda \(J=0\) a \(E_{\mathrm{rot}}=0\).

Dvomi rôznymi pohľadmi na ten istý pohyb sme sa dostali k dvom vyjadreniam kinetickej energie. Jednak je to rotačná energia \(E_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2}Ma^{2}\omega^{2}\) a dvak translačná energia \(E_{\mathrm{tran}}=\frac{1}{2}Mv^{2}\). Keď si uvedomíme, že \(v=a\omega\), vidíme, že sa dopracujeme k rovnakej hodnote, takže oba prístupy sú si naozaj ekvivalentné.

Vráťme sa teraz k zákonu zachovania energie. V momente uvoľnenia má mlyn nulovú kinetickú energiu. Nech v najnižšom bode dosiahne maximálnu rýchlosť \(v\). Potom nárast jeho kinetickej energie je \[\Delta E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}Mv^{2}\] a zo zákona zachovania energie \(\Delta E_{\mathrm{kin}}\stackrel{!}{=}\Delta E_{\mathrm{pot}}\). Po dosadení nájdených zmien energií dostávame \(\frac{1}{2}Mv^{2}=Mg\left(y_{0}+r\right)\), odkiaľ \[v=\sqrt{2g\left(y_{0}+r\right)}\doteq\SI{1.69}{\metre\per\second}\text{.}\]

Komentár opravovateľa

Počas opravovania som narazil na viaceré chyby, ale jedna sa diala až príliš často. Spravila ju približne až tretina z vás a spočívala v tom, že ste vypočítali kinetickú energiu ťažiska, vyrátali ste z toho rýchlosť ťažiska a potom ste ju premenili na rýchlosť závaží.

Tu sa ale objavuje taká otázka: kinetická energia ťažiska je \(\frac{1}{2}Mv^{2}\) (kde M je hmotnosť všetkých závaží dokopy), ale čo ak by sme to rátali pomocou kinetickej energie závaží? To je tiež \(\frac{1}{2}Mv^{2}\). Ako to teda vlastne je s energiou ťažiska? Pozrime sa na to cez rotačné energie. Rotačná energia mlynu je \(\frac{1}{2}J\omega^{2}\), kde \(J=Ma^2\). Rotačná energia ťažiska je ale tiež \(\frac{1}{2}J\omega^{2}\) a vieme, že \(\omega\) je v oboch rovnaká. Takisto bude aj \(J\), keďže sa v oboch prípadoch otáča ten istý mlyn.

Z toho ale dostávame, že kinetická energia ťažiska je rovnaká ako kinetická energia závaží. To znamená, že v kinetickej energii ťažiska vlastne nevystupuje rýchlosť ťažiska, ale rýchlosť závaží.

V riešeniach som ale narazil aj na veci, ktoré sa mi páčili, a tým bolo riešenie od Elišky Macákovej, v ktorom vôbec nebolo treba zistiť, kde sa nachádza ťažisko. Vyjadrila si potenciálnu energiu ako funkciu v závislosti od uhla vychýlenia, odsimulovala to v tabuľkovom kalkulátore a ľahko našla minimum.

Pre tých, ktorí napísali, že mlyn má minimálnu potenciálnu energiu, keď je najťažšie závažie dole: na videu od Terky Prokopovej si môžete pozrieť, že to tak nebude:

https://drive.google.com/file/d/0B_H19OdYZEpLSTBCRjJYZUhFZms/view