Zadanie

Enka si na dve nitky zavesila paličku1. Potom jednu z nitiek prestrihla. Akou silou je v okamihu tesne po prestrihnutí napínaná druhá nitka? Hmotnosť paličky je \(m\) a to vám hádam aj stačí…

  1. Pozor, nie Andreja! Viď posledný príklad z 2. kola letnej časti z 28. ročníka FKS. Je naozaj poučný :-)↩

Pred tým, ako sa pustíte do počítania a písania rovníc, skúste si tipnúť, akou silou by podľa vás nitka mala byť napínaná. OK, tipy sa uzatvárajú, poďme sa pustiť do riešenia.

Najprv si ujasnime, aké sily tesne po odstrihnutí jednej z nitiek na paličku pôsobia. V prvom rade je to tiažová sila. Ak by to bola len ona, tak palička by voľne padala smerom nadol. Avšak nenatiahnuteľnosť neodstrihnutej nitky jej to nedovolí. Palička teda ťahá nitku smerom nadol (v dôledku jej tiaže), čo spôsobuje napínanie nitky silou, ktorú si označíme \(T\). Reakciou je ťahanie paličky nitkou smerom nahor taktiež silou \(T\).

Na paličku budú teda pôsobiť dve sily, ktorých pôsobiská sú zakreslené na obrázku.

Dve sily, ktoré pôsobia na paličku.
Dve sily, ktoré pôsobia na paličku.

Enka nepoužíva hocijaké šmejdy, takže jej palička je dokonalé tuhé teleso, ktoré môže vykonávať len translačný (posuvný) a otáčavý pohyb.

Pohybová rovnica pre translačný pohyb ťažiska paličky je \[F_g - T = m a\text{,} \] pričom \(a\) je zrýchlenie ťažiska paličky.

Pohybová rovnica pre otáčavý pohyb paličky okolo bodu úchytu (označme ho \(A\))1 je \[F_g \cdot \frac{l}{2} = I \epsilon\text{,}\]

kde \(l\) je jej dĺžka, \(I\) je jej moment zotrvačnosti vzhľadom na bod \(A\)2 a \(\epsilon\) je jej uhlové zrýchlenie, ktoré ľahko určíme zo zrýchlenia ťažiska vzhľadom na bod \(A\): \[\epsilon = \frac{a}{l/2}\text{.}\]

Po dosadení \(I\) a \(\epsilon\) do druhej pohybovej rovnice dostaneme dve rovnice o dvoch neznámych: \[F_g - T = m a\text{,}\] \[F_g \cdot \frac{l}{2} = \frac{1}{3}m l^2 \cdot \frac{a}{l/2}\text{,}\]

z ktorých jednoduchými úpravami získame výsledok \[T = \frac{F_g}{4} = \frac{mg}{4}\text{.}\]

To by ste si netipli, však?

  1. Tento bod tesne po prestrihnutí stojí na mieste. Neveríte? Ak by sa bod \(A\) hýbal smerom nahor, tak by na paličku nitka nepôsobila žiadnou silou. To sme si však už na začiatku vyjasnili, že to tak nie je. Nemožný pohyb v ostatných smeroch sa pokúste odargumentovať aj sami :)↩

  2. Ujo Google vám vyhodí vzorček \(I=\frac{1}{3} m l^2\), tí šikovnejší si to môžu aj vypočítať škálovaním.↩

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.