6. Do kameňolomu s ním! vzorové riešenie

Uvažujme, že čakan sa pohybuje iba v rovine určenej vektorom rýchlosti a vektorom tiažového zrýchlenia. V takom prípade vieme popísať jeho pohyb veľmi jednoducho. Vieme predsa, že každý pohyb možno rozložiť na translačný pohyb a rotačný pohyb okolo ťažiska. Pre účely popisu pohybu čakana preto potrebujeme nájsť polohu jeho ťažiska.

Uvažujme čakan tvaru písmena „T“, pričom poznáme rozmery a hmotnosti násady a samotného kovového čakana. Zo symetrie čakana dostávame, že jeho ťažisko leží na osi násady vo vzdialenosti \(a\) od spojnice drevenej a kovovej časti. Jednoduchým výpočtom dostávame, že \(a=\frac{M\cdot0+m\cdot\frac{d}{2}}{M+m}=\frac{md}{2\left(M+m\right)}\).

Pri riešení tohto príkladu je potrebné sledovať štyri význačné body: ťažisko, hroty čakana a dolný koniec násady, na obrázku postupne označené písmenami \(T\), \(A\), \(B\), \(C\). Z toho dôvodu je potrebné popísať ich polohu na čakane. Dolný koniec násady leží vo vzdialenosti \(R=d-a\) od ťažiska. Hroty čakana sa nachádzajú vo vzdialenosti \(r=\sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^{2}+a^{2}}\) a s násadou zvierajú ostrý uhol \(\alpha=\arctan\frac{l}{2a}\).

Teraz už môžeme pristúpiť k matematickému popisu problému. Zaveďme súradnicovú sústavu tak, že x-ová os je kolmá na stenu a pretína ju práve v bode \(x=0\), pričom čakan sa pohybuje len na jej kladnej polosi. Natočenie čakana budeme popisovať uhlom \(\varphi\), ktorý budeme merať od vodorovného smeru (nulový bude vtedy, keď bod \(C\) bude úplne vpravo) a jeho kladná orientácia bude proti smeru pohybu hodinových ručičiek (rovnako ako na jednotkovej kružnici pri definovaní goniometrických funkcií). Z toho vyplýva, že keď budeme chcieť \(x\)-ovú vzdialenosť bodu od ťažiska, stačí prenásobiť jeho vzdialenosť od ťažiska kosínom uhla, ktorý zviera jeho spojnica s ťažiskom s kladnou polosou \(x\).

Uvažujme, že jediná sila, ktorá na čakan za letu pôsobí, je tiažová sila. Tá však ovplyvňuje iba pohyb v \(y\)-ovom smere, ktorý nás nezaujíma. Z toho dôvodu môžeme uvažovať, že čakan vykonáva iba rovnomerný pohyb proti smeru osi \(x\) rýchlosťou \(v\) a rovnomerný rotačný pohyb okolo ťažiska, ktorý možno popísať rovnicou \(\varphi=\omega t+\varphi_{0}\). Nech je v čase \(t=0\) ťažisko čakana vo vzdialenosti \(\xi_{0}\) od steny. Potom možno pohyb štvorice význačných bodov popísať súborom rovníc (1): \[x_{T}=\xi_{0}-vt\] \[x_{A}=x_{T}+r\cos\left(\varphi+\alpha+\pi\right)=\xi_{0}-vt-r\cos\left(\omega t+\varphi_{0}+\alpha\right)\] \[x_{B}=x_{T}+r\cos\left(\varphi-\alpha+\pi\right)=\xi_{0}-vt-r\cos\left(\omega t+\varphi_{0}-\alpha\right)\] \[x_{C}=x_{T}+R\cos\left(\varphi\right)=\xi_{0}-vt+R\cos\left(\omega t+\varphi_{0}\right)\]

Našli sme rovnice, ktoré presne popisujú pohyb čakana, takže to vyzerá, že sme na dobrej ceste k riešeniu. Alebo že by nie? Keď sa lepšie pozrieme na štruktúru tých rovníc, tak zistíme, že sú to transcendentné rovnice, ktoré sa nedajú analyticky vyriešiť. Chceli by sme totiž zistiť, ktorý z bodov \(A\), \(B\), \(C\) prvý narazí do steny, teda jeho súradnica nadobudne 0. Riešenie by teda vyzeralo takto: polož rovnice rovné 0, z každej z nich vyjadri čas a nájdi najmenší z trojice časov. Bod, ktorému tento čas prislúcha, narazí do steny ako prvý. Lenže čas v tých rovniciach vystupuje v argumente kosínu i mimo neho a také rovnice by všeobecne nevyriešil ani Chuck Norris v najlepších rokoch. Potešením nám môže byť aspoň to, že sme našli algoritmus na numerické riešenie úlohy.

V tomto momente by sme to mohli zabaliť – veď sme ukázali, že to vyriešiť nejde. Stále sa však môžeme pokúsiť spraviť rozumné odhady, ktoré by nás priviedli aspoň k približným výsledkom. Ale ľahké to mať rozhodne nebudeme.

Odhady sa nám budú robiť jednoduchšie, keď budeme rozumieť tomu, čo rovnice (1) popisujú. V jednoduchosti možno povedať, že popisujú rovnomerné približovanie bodu \(T\) k zvislej priamke a rovnomerné obiehanie bodov \(A\), \(B\), \(C\) po kružniciach s polomermi \(r\) a \(R\) okolo bodu \(T\). Vo vzťažnej sústave spojenej s ťažiskom by sme to videli ako obiehanie bodov po dvoch sústredných kružniciach a približovanie zvislej priamky ku stredu týchto dvoch kružníc, pričom nás zaujíma, ktorý z bodov ako prvý zasiahne priamku.

Asi by sme si tipli, že krajnú podmienku dostaneme tak, že bod \(C\) v ľavej krajnej polohe tesne minie stenu a zostáva určiť podmienku pre uhlovú rýchlosť, aby priamku zasiahol jeden z bodov \(A\) alebo \(B\). Matematicky sa to dá vyjadriť počiatočnými podmienkami: \[\varphi\left(0\right)=\pi\;\rightarrow\;\omega\cdot0+\varphi_{0}=\pi\;\rightarrow\;\varphi_{0}=\pi\] \[x_{C}\left(0\right)=0\;\rightarrow\;\xi_{0}+R\cos\left(\pi\right)=0\;\rightarrow\;\xi_{0}=R\] Potom rovnice (1) prejdú na tvar (2): \[x_{T}=R-vt\] \[x_{A}=R-vt+r\cos\left(\omega t+\alpha\right)\] \[x_{B}=R-vt+r\cos\left(\omega t-\alpha\right)\] \[x_{C}=R-vt-R\cos\left(\omega t\right)\]

Pracujme teraz na chvíľu s geometrickou interpretáciou, ktorú sme predostreli. Očakávame, že čakan sa zapichne do steny s najväčšou pravdepodobnosťou, keď k nárazu dôjde v momente, keď bod \(A\) alebo \(B\) bude v blízkosti jeho ľavej kulminácie. Tento predpoklad je rozumný, ak predpokladáme, že translačná rýchlosť nie je výrazne vyššia než rýchlosť približovania vplyvom rotácie.¹ Čo možno v takom prípade povedať? Hneď vidíme, že ak \(r\geq R\), tak je triviálne, že čakan narazí do steny hrotom \(A\). Ale čo ak \(r<R\)? V takom prípade, kým sa ťažisko priblíži k stene o vzdialenosť \(R-r\),² čakan sa musí natočiť o uhol približne \(\pi-\alpha\), teda možno písať podmienku \(\frac{R-r}{v}=\frac{\pi-\alpha}{\omega}\). Keďže ide o krajnú podmienku, pre uhlovú rýchlosť musí približne platiť \[\omega\geq v\frac{\pi-\alpha}{R-r}\text{.}\]

Hornú podmienku dostaneme z podmienky pre zásah hrotom \(B\). V tom prípade analogicky dostávame \(\frac{R-r}{v}=\frac{\pi+\alpha}{\omega}\), a teda³ \[\omega\leq v\frac{\pi+\alpha}{R-r}\text{.}\]

Ale je to naozaj kóšer? Aby to naozaj platilo, tak okamžitá rýchlosť bodu \(C\) v čase \(t=0\) musí byť kladná.⁴ Okamžitú rýchlosť vypočítame⁵ ako \[v_{C}\left(0\right) = \frac{\Delta x_{c}}{\Delta t}=\frac{x_{_{C}}\left(\Delta t\right)-x_{C}\left(0\right)}{\Delta t}= \frac{R-v\Delta t-R\cos\left(\omega\Delta t\right)}{\Delta t}=\left.-v+R\frac{1-\cos\left(\omega\Delta t\right)}{\Delta t}\right|_{\Delta t\rightarrow0}=-v\text{.}\] Vidíme, že bod \(C\) sa v prvom momente pohybuje doľava, a tak čakan narazí do steny dreveným koncom. Tento odhad teda nie je dobrý.

Ako ho možno vylepšiť? Povedzme si, že nech nie je v čase \(t=0\) vzdialenosť bodu \(C\) od steny nulová, ale nech \(x_{C}\left(0\right)=\varepsilon>0\). V takom prípade nám záporná rýchlosť \(v_{C}\) v prvom momente neprekáža. Súbor rovníc (1) potom prejde na tvar (3): \[x_{T}=R+\varepsilon-vt\] \[x_{A}=R+\varepsilon-vt+r\cos\left(\omega t+\alpha\right)\] \[x_{B}=R+\varepsilon-vt+r\cos\left(\omega t-\alpha\right)\] \[x_{C}=R+\varepsilon-vt-R\cos\left(\omega t\right)\] Ak chceme zasiahnuť stenu hrotom \(A\), musia platiť nasledujúce podmienky. V čase \(t=\frac{\pi-\alpha}{\omega}\) musí byť \(x_{A}\leq0\) a zároveň \(x_{C}\geq0\) v každom momente \(0\leq t\leq\frac{\pi-\alpha}{\omega}\).⁶ Pozrime sa bližšie na podmienku pre pohyb bodu \(C\): \(R+\varepsilon-vt-R\cos\left(\omega t\right)\geq0\). Rozdiel \(R-R\cos\left(\omega t\right)\) je určite kladný, takže stačí požadovať, aby \(\varepsilon\geq vt\). Zoberme za \(t\) čas potrebný na otočenie čakana o uhol \(\pi-\alpha\), teda \(\varepsilon=\frac{v}{\omega}\left(\pi-\alpha\right)\) a dosaďme to do podmienky pre hrot \(A\). Odtiaľ dostávame podmienku \[R\leq r\text{,}\] čo nám nič nehovorí o uhlovej rýchlosti. Rovnakú podmienku by sme úplne identickým postupom dostali, aj keby sme uvažovali zásah hrotom \(B\). Dôvodom je fakt, že sme uvažovali príliš hrubý odhad pre \(\varepsilon\) z podmienky pre bod \(C\). Riešenie teda spočíva v zjemnení odhadu pre \(\varepsilon\). To však vôbec nie je jednoduché a vyžaduje si to isté znalosti z vyššej matematiky, preto v čítaní pokračujte len na vlastné riziko.

Pre motivovaných riešiteľov

Pracujme teraz so súborom rovníc (3), presnejšie s podmienkou plynúcou z rovnice pre bod \(C\). Požadujeme, aby v každom momente \(x_{C}\geq0\). Táto podmienka je ekvivalentná tomu, že minimum funkcie \(x_{C}\left(t\right)\) je nezáporné. Musíme teda nájsť minimum tejto funkcie.

Otvorme krátke matematické okienko. Pokiaľ je funkcia diferencovateľná⁷, tak extrém môže nadobúdať len na koncoch intervalu alebo tam, kde je jej derivácia rovná nule. Derivácia vlastne udáva smernicu dotyčnice a v mieste minima alebo maxima funkcie je táto dotyčnica rovnobežná s osou x, teda jej smernica je rovná 0. Ak je derivácia kladná, funkcia je tam rastúca, ak záporná, tak je klesajúca. Vybavení týmto matematickým minimom môžeme pokračovať vo výpočtoch.

Chceme nájsť minimum funkcie \(x_{C}\left(t\right)\), takže si vypočítajme jej deriváciu a položme ju rovnú 0. Dostávame rovnicu \(\dot{x_{C}}\left(t_{0}\right)=-v+R\omega\sin\left(\omega t_{0}\right)=0\), odkiaľ \(t_{0}=\frac{1}{\omega}\arcsin\left(\frac{v}{R\omega}\right)\). Okamžite vidíme podmienku, že \(v\leq R\omega\).⁸ V čase \(t=0\) je derivácia záporná, teda funkcia \(x_{C}\left(t\right)\) klesá až do času \(t_{0}\), kde nadobúda minimum.⁹ Od tohto momentu začne funkcia opäť rásť, takže minimum funkcie je \(x_{C}\left(t_{0}\right)=R+\varepsilon-\frac{v}{\omega}\arcsin\left(\frac{v}{R\omega}\right)-\sqrt{R^{2}-\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}\), čo požadujeme, aby bolo nezáporné, takže odtiaľ dostávame podmienku \(\varepsilon\geq R\left(\sqrt{1-\frac{v^{2}}{R^{2}\omega^{2}}}-1\right)+\frac{v}{\omega}\arcsin\left(\frac{v}{R\omega}\right)\). Dosaďme do rovníc (3) najmenší možný \(\varepsilon\) a dostaneme nový súbor rovníc (4): \[x_{T}=\sqrt{R^{2}-\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}+\frac{v}{\omega}\arcsin\left(\frac{v}{R\omega}\right)-vt\] \[x_{A}=\sqrt{R^{2}-\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}+\frac{v}{\omega}\arcsin\left(\frac{v}{R\omega}\right)-vt+r\cos\left(\omega t+\alpha\right)\] \[x_{B}=\sqrt{R^{2}-\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}+\frac{v}{\omega}\arcsin\left(\frac{v}{R\omega}\right)-vt+r\cos\left(\omega t-\alpha\right)\] \[x_{C}=\sqrt{R^{2}-\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}+\frac{v}{\omega}\arcsin\left(\frac{v}{R\omega}\right)-vt-R\cos\left(\omega t\right)\]

Teraz uvažujme zásah hrotom \(A\), teda musia byť splnené podmienky \(x_{A}\left(t=\frac{\pi-\alpha}{\omega}\right)\leq0\) a \(x_{C}\left(0\leq t\leq\frac{\pi-\alpha}{\omega}\right)\geq0\). Druhá podmienka je splnená automaticky,¹⁰ prvá podmienka po dosadení dáva \[\sqrt{R^{2}-\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}+\frac{v}{\omega}\arcsin\left(\frac{v}{R\omega}\right)-\frac{v}{\omega}\left(\pi-\alpha\right)-r\geq0\text{.}\] Ak by sme uvažovali zásah hrotom B, tak úplne analogicky dostaneme \[\sqrt{R^{2}-\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}+\frac{v}{\omega}\arcsin\left(\frac{v}{R\omega}\right)-\frac{v}{\omega}\left(\pi+\alpha\right)-r\geq0\text{.}\] Dostali sme teda podmienky, ktoré vzájomne zväzujú translačnú rýchlosť čakana a jeho uhlovú rýchlosť, takže už odtiaľ stačí len vyjadriť uhlovú rýchlosť ako funkciu rýchlosti. To však vzhľadom na štruktúru nerovníc nie je možné urobiť všeobecne, ale pre konkrétne hodnoty parametrov to ide urobiť numericky.

Ak by sme predsa len chceli analytický výsledok, môžeme skúsiť rozvinúť nepekné funkcie v tej nerovnici do Taylorovho radu a získať približný výsledok. Taylorov rozvoj dáva približnú hodnotu parametra \(\varepsilon\approx\frac{v^{2}}{2R\omega^{2}}\). Treba si však uvedomiť, že ide o vysokofrekvenčné priblíženie, teda výsledok je tým presnejší, čím \(v\) je menšie oproti \(R\omega\). Ak by sme chceli odhadnúť chybu, ktorej sme sa dopustili, stačí vyjadriť zvyšok Taylorovho radu a odhadnúť ho. My to robiť nebudeme, no môžete si to vyskúšať.¹¹ Namiesto toho si graficky ukážeme, ako sa líši pôvodná funkcia od jej aproximácie Taylorom.

Následne rovnice (4) prejdú na tvar (5): \[x_{T}\approx R+\frac{v^{2}}{2R\omega^{2}}-vt\] \[x_{A}\approx R+\frac{v^{2}}{2R\omega^{2}}-vt+r\cos\left(\omega t+\alpha\right)\] \[x_{B}\approx R+\frac{v^{2}}{2R\omega^{2}}-vt+r\cos\left(\omega t-\alpha\right)\] \[x_{C}\approx R+\frac{v^{2}}{2R\omega^{2}}-vt-R\cos\left(\omega t\right)\] Z úplne identických podmienok pre zásah hrotom \(A\), aké sme už použili, dostaneme kvadratickú nerovnicu \[\left(R-r\right)\omega^{2}-v\left(\pi-\alpha\right)\omega+\frac{v^{2}}{2R}\leq0\text{.}\] Nulové body sú \[\omega_{+,-}=\frac{v}{2}\frac{\pi-\alpha}{R-r}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{2\left(R-r\right)}{R\left(\pi-\alpha\right)^{2}}}\right)\text{.}\] Koeficient pred \(\omega^{2}\) je kladný, preto grafom funkcie je parabola tvaru „U“, a teda funkcia je záporná pre \(\omega\in\left\langle \omega_{-};\omega_{+}\right\rangle \). Úplne analogicky sa dopracujeme k podmienke pre zásah hrotom \(B\). V tom prípade dostaneme nulové body \[\omega_{+,-}=\frac{v}{2}\frac{\pi+\alpha}{R-r}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{2\left(R-r\right)}{R\left(\pi+\alpha\right)^{2}}}\right)\] a opäť \(\omega\in\left\langle \omega_{-};\omega_{+}\right\rangle \). Stále však nesmieme zabúdať na podmienky, ktoré sme použili pri odvodení tohto výsledku, predovšetkým \(v < R\omega\) (viď graf).

@P{grafx_A}{png}{png}{90mm}{Porovnanie riešenia nerovnice \(x_{A}<0\) pre presné a približné vyjadrenie funkcie \(x_{A}\)}{}

Overme ešte, čo sa stane, keď \(v\geq R\omega\). Vráťme sa späť k súboru rovníc (3). Za tohto predpokladu funkcia \(x_{C}\left(t\right)\) nadobúda minimum na hranici intervalu,¹² teda v prípade zásahu steny hrotom \(A\) možno priamo položiť \(t_{0}=\frac{\pi-\alpha}{\omega}\). V tom prípade z podmienky \(x_{C}\left(t_{0}\right)\geq0\) dostaneme podmienku \(\varepsilon=\frac{v}{\omega}\left(\pi-\alpha\right)-R\left(1+\cos\left(\alpha\right)\right)\). Dosaďme ju do podmienky \(x_{A}\left(t=\frac{\pi-\alpha}{\omega}\right)\leq0\) a po krátkej úprave dostaneme \(-R\cos\left(\alpha\right)-r\leq0\), čo je samozrejme vždy platná nerovnosť. Na základe toho možno tvrdiť, že ak \(v\geq R\omega\) a bod \(C\) míňa stenu vo vzdialenosti aspoň \[\varepsilon\geq\frac{v}{\omega}\left(\pi-\alpha\right)-R\left(1+\cos\left(\alpha\right)\right)\text{,}\] tak vždy zasiahneme stenu hrotom čakana. Horné obmedzenie pre vzdialenosť dostaneme, keď budeme uvažovať zásah hrotom \(B\). Úplne identickým spôsobom sa dopracujeme k podmienke \[\varepsilon\leq\frac{v}{\omega}\left(\pi+\alpha\right)-R\left(1+\cos\left(\alpha\right)\right)\text{.}\] Samozrejme, toto obmedzenie mi hovorí, že ak \(\varepsilon\) je z uvedeného intervalu, tak čakan zasiahne stenu kovovou časťou. Opačná implikácia však neplatí. Stále sa môže stať, že aj pre nejaké \(\varepsilon\), ktoré neleží v tomto intervale, čakan zasiahne stenu kovovou časťou. Stačí si prečítať prvú poznámku pod čiarou k tejto úlohe, kde sme o takejto situácii uvažovali.

Hodnotenie

A čo bolo teda treba spraviť, aby ste získali veľa bodov? V prvom rade bolo treba preukázať fyzikálny nadhľad do problému a pokúsiť sa situáciu popísať. Za to ste mohli získať základné body. Ako ste mohli vidieť, táto úloha nemá žiadne správne riešenie, preto nemožno jednoznačne povedať, že toto je dobre a toto nie. Pri udeľovaní ďalších bodov sa bude brať do úvahy, aké odhady ste použili a ako ste zhodnotili, v čom sú dobré a kde zlyhávajú. Samozrejme sme od vás neočakávali také presné odhady, ako sme urobili my. Pri hodnotení sme sa držali zásady, že najlepší zo všetkých odhadov ohodnotíme plným počtom bodov¹³ a ďalšie bodovanie odstupňujeme podľa kvality použitých odhadov. Takže, ak by ste všetci použili aj ten najmenej presný odhad a mali ho správne, tak všetci môžete získať plný počet bodov.