1. „Miujem tuenie“ vzorové riešenie

Zadanie

Samašec sa počas jesene rozhodol liezť po skalách. Vyhliadol si vo svojom okolí šikmú skalu bez akýchkoľvek puklín, o ktoré by sa mohol zachytiť, a v pevnej turistickej obuvi s kvalitnou podrážkou sa ju rozhodol zdolať. Ako tak lezie, zrazu začne panikáriť, lebo sa mu skala zdá príliš strmá, a preto pre istotu položí na skalu aj ruky. To sa mu však stáva osudným a Samašec sa zošmykne po skale smerom dole. Prečo sa to udialo?

Predstavme si Samašca, ako stojí na šikmej skale tak, že ak by bola čo i len o trošku šikmejšia, tak by sa zošmykol. Nech zatiaľ stojí celou svojou váhou na nohách. Čo musí platiť pre takúto rovnovážnu polohu? Súčet všetkých síl aj súčet momentov síl musí byť nulový. Momenty síl vie vybalansovať naklonením svojho tela,¹ teda nás budú trápiť iba veľkosti síl.

Uvažujeme nasledovné sily: tiažová (pôsobiaca v ťažisku vo zvislom smere nadol), normálová od podložky (pôsobiaca na chodidlá šikmo nahor – kolmo na stenu) a trecia (pôsobiaca na chodidlá v rovnobežnom smere s podložkou a proti smeru šmyku). Tiaž si rozložíme do rovnobežného a kolmého smeru na podložku. Z rovnosti kolmých zložiek vyplýva, že normálová sila má veľkosť príslušnej zložky tiažovej sily. V rovnobežnom smere platí, že trecia sila vyrovnáva rovnobežnú zložku tiažovej sily. Vo všeobecnosti je trecia sila menšia alebo rovná súčinu normálovej sily \(F_n \leq F_g \cos \alpha\) a koeficientu statického trenia medzi topánkou a skalou \(f_t\). V prípade, že Samašec by sa pri ľubovoľnom väčšom naklonení zošmykol, môžeme znak nerovnosti prepísať na znak rovnosti:² \[F_g \sin \alpha = f_t F_g \cos \alpha \] \[f_t = \tan \alpha \]

Teraz Samašec položí na skalu ruky, teda istá časť kolmej zložky tiažovej sily je vyrovnávaná normálovou silou v mieste nôh a druhá časť v mieste rúk. Môžeme povedať, že normálová sila pôsobiaca v mieste nôh je \(F_{n1} = f_t p F_g \cos \alpha\) a v mieste rúk je \(F_{n2} = f_r (1-p) F_g \cos \alpha\), kde \(f_r\) je koeficient statického trenia medzi rukami a skalou a \(p \in \langle 0 ; 1 \rangle\) vyjadruje, akú časť hmotnosti nesú nohy. Pre stabilnú polohu musí platiť, že rovnobežná zložka tiažovej sily je menšia alebo rovná maximálnej hodnote trecej sily. \[F_g \sin \alpha \leq f_t F_g p \cos \alpha + f_r F_g (1-p) \cos \alpha\] \[ \tan \alpha \leq p f_t + (1-p) f_r \]

Teraz využijeme výsledok z predošlej situácie \(\tan \alpha = f_t\). \[ f_t \leq p f_t + (1-p) f_r \] \[f_t \leq f_r \] Za predpokladu spomenutého v zadaní, že Samašec má kvalitnú obuv, teda koeficient trenia medzi topánkou a stenou je väčší ako medzi rukou a stenou, nie je splnená podmienka stability a nasleduje zošmyknutie sa. K záchrane protagonistu by mohli dopomôcť rukavice pokryté brúsnym papierom alebo z iného materiálu, ktorý by zvýšil koeficient statického trenia.